[BZOJ2595][Wc2008]游览计划（斯坦纳树）

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https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2595

Solution

作为模板题，说一说斯坦纳树。
斯坦纳树是一种特殊的状态压缩DP：
在图上给定一些关键点（ $10$ 个左右），选出一些边，求选出的边连通所有关键点的最小代价。
即斯坦纳最小生成树。
DP 模型：
定义状态 $f[u][S]$ 表示将点 $u$ 与关键点集合 $S$ 连通的最小代价。
也可以理解为以 $u$ 为根的子树内包含了关键点集合 $S$ 的最小代价。
边界：$u$ 是关键点时， $f[u][\{u\}]=0,f[\text{ELSE}]=\infty$ 。
转移：分两种情况。
（1）$u$ 有不止一个子树。可以枚举 $S$ 的非空真子集 $S'$ ，让 $S'$ 和 $S-S'$ 在 $u$ 的不同子树内：

$$f[u][S]=\min(f[u][S],f[u][S']+f[u][S-S'])$$
（2） $u$ 只有一个子树。枚举连接 $u$ 的边 $(u,v)$ ：
$$f[u][S]=\min(f[u][S],f[v][S]+cost(u,v))$$
不过很容易发现，第二个转移方程会造成环形转移，但这个式子特别像最短路中的三角形不等式。因此对于每个 $S$ ，转移（1）全部进行完之后，要对所有满足 $f[u][S]\neq\infty$ 的点跑 SPFA ，这样就排除了转移的后效性。
连接所有 $m$ 个点 $u_1,u_2,...,u_m$ 的最小代价：
$$\min_uf[u][\{u_i|1\le i\le m\}]$$
回到原问题。发现此题与上面介绍的斯坦纳树有一点区别：上面的斯坦纳树求 边权最小值，而此题求 点权最小值，因此边界和转移都有变化。
边界：
$$\forall u是关键点,f[u][\{u\}]=cost[u],f[\text{ELSE}]=\infty$$
转移（1）：
$$f[u][S]=\min(f[u][S],f[u][S']+f[u][S-S']-cost[u])$$
转移（2）：
$$f[u][S]=\min(f[u][S],f[v][S]+cost[u])$$
题目要求输出方案，因此需要对每个状态记下它从哪个状态转移得到。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Subset(i, k) for (k = (i - 1) & i; k; k = (k - 1) & i)
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 13, E = 105, C = (1 << 10) + 5, M = 1e6 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, K, a[N][N], id[N][N], tx[E], ty[E], dx[] = {-1, 1, 0, 0},
dy[] = {0, 0, -1, 1}, f[E][C], len, que[M], pre[E][C]; bool vis[E], ove[N][N];
void SPFA(int S) {
    int i, j; For (i, 1, len) {
        int x = tx[que[i]], y = ty[que[i]], u = que[i]; vis[u] = 0;
        For (j, 0, 3) {
            int tx = x + dx[j], ty = y + dy[j];
            if (tx < 1 || tx > n || ty < 1 || ty > m) continue;
            int v = id[tx][ty], ndis = f[u][S] + a[tx][ty]; if (ndis < f[v][S]) {
                f[v][S] = ndis; pre[v][S] = u;
                if (!vis[v]) vis[que[++len] = v] = 1;
            }
        }
    }
}
void solve(int x, int y, int S) {
    int i, u = id[x][y]; ove[x][y] = 1;
    Subset(S, i) if (f[u][S] == f[u][i] + f[u][S - i] - a[x][y]) {
        solve(x, y, i); solve(x, y, S - i); return;
    }
    if (pre[u][S]) solve(tx[pre[u][S]], ty[pre[u][S]], S);
}
int main() {
    int i, j, k, T = 0, Cm, r; n = read(); m = read(); r = n * m;
    memset(f, INF, sizeof(f));
    For (i, 1, n) For (j, 1, m) a[i][j] = read(), tx[id[i][j] = ++T] = i,
        ty[T] = j, K += !a[i][j], !a[i][j] ? f[T][1 << K - 1] = 0 : 0;
    Cm = (1 << K) - 1; For (i, 1, Cm) {
        len = 0; For (j, 1, r) vis[j] = 0; For (j, 1, r) {
            Subset (i, k)
                f[j][i] = min(f[j][i], f[j][k] + f[j][i - k] - a[tx[j]][ty[j]]);
            if (f[j][i] != INF) vis[que[++len] = j] = 1;
        }
        SPFA(i);
    }
    int ans = INF, st; For (i, 1, r) if (f[i][Cm] < ans) ans = f[i][Cm], st = i;
    cout << ans << endl; solve(tx[st], ty[st], Cm); For (i, 1, n) {
        For (j, 1, m) putchar(ove[i][j] ? (a[i][j] ? 'o' : 'x') : '_');
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}