二叉排序树的实现

二叉排序（搜索）树是以关键码为结点的二叉树，其性质：如果任一结点的左子树非空，则左子树的所有结点的关键码都小于根结点的关键码；如果任一结点的右子树非空，则右子树的所有结点的关键码都大于根结点的关键码。二叉排序树的存储结构如下，

typedef struct BinSortNode* PBinSortNode;
typedef struct BinSortNode* BinSortTree;
typedef BinSortTree* PBinSort
struct BinSortNode
{
    KeyType key;
    PBinSortNode llink, rlink;
};

下面是一颗二叉排序树，

二叉排序树的检索

要向二叉排序树插入一个新的结点，需要先在树中进行检索，检索的过程与二分法检索相似，逐步缩小检索的范围。设在二叉排序树上查找关键码为key的结点，检索成功时，position指向查找到的结点指针；检索失败时，position指向该节点应该插入位置的父节点。注意，position是结点指针的指针类型，为什么函数不直接返回结点指针类型？因为函数返回整型可以确定检索的成功与否，同时又可以通过position得到新的结点应该插入位置的父节点，算法实现如下，

int Search(BinSortTree t, KeyType key, PBinSortNode *position)
{
    PBinSortNode p = t,pre;
    while(p != NULL){
        pre = p;
        if(p->key == key){
            *position = p; return 1;
        }
        else if(key < pre->key) p=p->llink;
        else p=p->rlink;
    }
    *position = pre;
    return 0;
}

假设二叉排序树共有n个结点，高度是h（log2n≤h≤n），则检索的时间代价最坏为O（h）。

二叉排序树的插入

实现了上面二叉排序树的检索，就可以很快地插入结点，即检索操作是插入操作的一部分。所以，如果二叉排序树为空树，则新结点作为根结点。如果非空，则将新结点的关键码与position的关键码作比较，若前者小则将新结点插入到position的左子树，否则插入到position的右子树。具体算法如下，

int Insert(BinSortTree t, KeyType key)
{
    PBinSortNode p, position;
    if(Search(t, ket, &position)==1) {
        cout>>"Exist the node"; return 1;         //已存放该节点
    }
    p = new struct BinSortNode;
    if(p == NULL) {
        cout<<"Error"; return 0;
    }
    p->key = key; p->llink=p->rlink=NULL;
    if(position == NULL) t = p;                 //原树为空树
    else if(key < position->key) position->llink = p;
    else position->rlink = p;
    return 1;
}

二叉排序树的构造

既然实现了新结点的插入操作，那么就可以将字典的关键码一一插入到二叉排序树中，从而实现二叉排序树的构造算法，

int CreateSortTree(BinSortTree t, KeyType *dic)
{
    *t = NULL;                                  //将二叉排序树置为空
    for( int = 0; i < strlen(dic); i++)         //将新结点插入树中
        if(!Insert(t, dic[i])) return 0;
    return 1;
}

二叉排序树的删除

为了删除一个结点，必须首先找到它。注意，这里没有用到上面的检索操作，因为那只提供了该节点的位置，但不知道其父节点的位置（不同于插入位置的父节点）。删除操作的一种方式如下：

检索被删除结点p；
if（p无左子女）
       用p的右子女代替p；
else{
       找p的左子树中关键码最大的结点MAX（最右下结点）；
       用MAX的右指针指向p的右子女；
       用p的左子女代替p；

另一种删除方式区别于上面带下划线斜体部分，用下面语句代替：

       用MAX结点代替被删除的结点p；
       用原来MAX的左子女代替MAX；

如下图，（b）和（c）分别是删除操作的两种方式示例，

第一种方式的代码实现如下：

int Delete(BinSortTree t, KeyType key)
{
    PBinSortNode pre, p, MAX;
    p = t; pre = NULL;
    while(p!=NULL){                                 //找关键码为key的结点
        if(p -> key==key) break;
        pre = p;
        if(key < p->key) p = p->llink;
        else p = p->rlink;
    }
    if(p == NULL)   return 0;                       //不存在

    if(p->llink == NULL){                           //无左子树
        if(pre == NULL)                             //删除的是树根结点
            t = p->rlink;
        else if(pre->llink == p)                    //将p的右子树接到父节点的左链
            pre->llink = p->rlink;
        else                                        //将p的右子树接到父节点的右链
            pre->rlink = p->rlink;
    }
    else{                                           //有左子树
        MAX = p->llink;
        while(MAX->rlink != NULL) MAX = MAX->rlink; //找p的左子树中关键值最大的结点

        MAX->rlink = p->rlink;                      //用MAX的右指针指向p的右子女

        if(pre = NULL)                              //删除的是树根结点
            t = p->llink;
        else if(pre->llink == p)                    //将p的左子树接到父节点的左链
            pre->llink = p->llink;
        else                                        //将p的左子树接到父节点的右链
            pre->rlink = p->llink;
    }
    delete p;
    return 1;
}

另一种不同于下划线部分：

    else{
        MAX = p->llink;
        PBinSortNode preMAX = MAX;                  //引进局部变量preMAX，初始化为MAX
        while(MAX->rlink != NULL){                  //找p的左子树中关键值最大的结点，并用preMAX保存最大结点的父节点
            preMAX = MAX; MAX = MAX->rlink;
        }
        p->key = MAX->key;                          //复制结点信息，实现所谓的代替
        if(preMAX == p) p->llink = MAX->llink;      //MAX的父节点就是p
        else preMAX->rlink = MAX->llink;            //用MAX的左子女代替MAX
        p = MAX;                                    //为统一在下面释放内存
    }

二叉排序树的实现

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