1.二叉排序树概念

二叉排序树（Binary Sort Tree）也称为二叉查找树后者二叉搜索树：

具有的性质：

1.若它的左子树不空，则左子树上的所有节点的值均小于它的根节点的值；

2.若它的右子树不空，则右子树上的所有节点的值均大于它的根节点的值；

3.若左右子树都不为空，左右子树也分别为二叉排序树；

二叉排序树结构的定义：

typedef int ElemType;

typedef struct BSTNode{
	ElemType data;
	struct BSTNode*lchild,*rchild;
}*BSTree;

2.二叉排序树的插入

（1）二叉排序树的插入过程

假设：现在有查找的关键字序列为{45,24,53,45,12,24,90}，二叉排序树的插入过程如下：

（2）节点插入实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<stack>


void BSTreemenu(){
	printf("---------------1.插入节点--------------\n");
	printf("---------------2.查询节点--------------\n");
	printf("---------------3.删除节点--------------\n");
	printf("---------------4.输出节点--------------\n");
	printf("---------------5.退出程序--------------\n");
}

//构造一棵二叉排序树
int BST_Insert(BSTree&T,int key){
	if(T==NULL){
		T=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
		T->data=key;
		T->lchild=NULL;
		T->rchild=NULL;
		return 1;
	}else if(T->data==key){
		return 0;
	}else if(T->data>key){
		BST_Insert(T->lchild,key);
	}else {
		BST_Insert(T->rchild,key);
	}
}

3.二叉排序树的查找

二叉排序树的查找过程类似于次优二叉树，查找步骤：

1.首先将给定值和根节点的值进行比较，若相等，则查找成功，否则进行第二步；

2.若给定的值大于根节点的值，则到根节点的右子树上进行相同的比较；

3.若给定的值小于根节点的值，则到根节点的左子树上进行相同的比较；

//递归查询节点
BSTNode*BST_Search(BSTree T,int key){
	if(T==NULL)return NULL;
	if(T->data==key){
		return T;
	}else if(T->data>key){
		BST_Search(T->lchild,key);
	}else{
		BST_Search(T->rchild,key);
	}
} 
//非递归查询
BSTNode*BSTSearch(BSTree T,int key){
	while(T!=NULL&&T->data!=key){
		if(T->data>key){
			T=T->lchild; 
		}else{
			T=T->rchild;
		}
	}
}

4.二叉排序树的遍历

该遍历和二叉树的遍历过程一样，但是这里有一个技巧，就是判断一棵二叉树是否为二叉排序树：如果中序遍历为有序的序列，则为二叉排序树。

//中序遍历二叉排序树(有序)
void  BST_display(BSTree T){
	if(T==NULL)return;
	BST_display(T->lchild);
	printf("%d  ",T->data);
	BST_display(T->rchild);
}

5.二叉树排序树节点的删除

（1）删除二叉排序树节点*P

情况一：
- 如果*P节点为叶子节点，那么其左右子树都是为NULL，也就是删除此节点并不会破坏整棵树的结构，所以直接删除节点*P即可。

情况二：
- 如果*P节点只有左子树PL或者右子树PR，那么只需要将PL或者PR为*P双亲*F的左子树或者右子树即可。

情况三：
- 如果左右子树都不为空的话，那么以上方法则不能使用。由于二叉排序树中序遍历时得到是一个从小到大的序列，在删除节点*P之前，首先找到其*P的直接前驱*S（也就是*P的左子树上最大值的节点）或者直接后继*S（也就是*P右子树上最小值的节点），使用直接前驱或者直接后继的值替代*P节点的值。注意：虽然使用直接前驱或者直接后继的值去替代之后，还是不能直接删除直接前驱或者直接后继，因为对于直接前驱节点来说，有可能其左子树不为空；而对于直接后继节点来说，有可能其右子树不为空，对于上面这种情况的话，使用直接前驱或者直接后继替代*P之后，我们需要将*S的左子树或者右子树挂到*S的双亲节点上去。

//删除节点操作
//情况一
void DeleteBSTOne(BSTree T,int key){
	if(!T){
		printf("不存在删除的节点!\n");
	}else{
		if(T->data==key){
			free(T);
			printf("删除成功!\n");
		}else if(T->data>key){
			DeleteBSTOne(T->lchild,key);
		}else{
			DeleteBSTOne(T->rchild,key);
		}
	}
} 
//情况二,三 
void  DeleteBSTwoThree(BSTNode*p){
	//如果*p不存在右子树，那么只需要将左子树挂到双亲上 
	BSTNode*q=NULL;
	if(!p->rchild){
		q=p;
		p=p->lchild;
		free(q);
	}else if(!p->lchild){//否则接右子树 
		q=p;
		p=p->rchild;
		free(q);
	}else{//左右子树都不空情况 
		q=p;
		BSTNode*s=p->lchild;
		//找到直接前驱，也就是*P左子树的最大值 
		while(s->rchild){
			q=s;//q指向节点s的双亲 
			s=s->rchild;
		} 
		p->data=s->data;
		if(q!=p){
			q->rchild=s->lchild;
		}else{
			q->lchild=s->lchild;
		}
		free(s);
	}
	printf("删除节点成功!");
	return ;
}

6.完整的流程测试

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<stack>

typedef int ElemType;

typedef struct BSTNode{
	ElemType data;
	struct BSTNode*lchild,*rchild;
}*BSTree;

void BSTreemenu(){
	printf("---------------1.插入节点--------------\n");
	printf("---------------2.查询节点--------------\n");
	printf("---------------3.删除节点--------------\n");
	printf("---------------4.输出节点--------------\n");
	printf("---------------5.退出程序--------------\n");
}

//构造一棵二叉排序树
int BST_Insert(BSTree&T,int key){
	if(T==NULL){
		T=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
		T->data=key;
		T->lchild=NULL;
		T->rchild=NULL;
		return 1;
	}else if(T->data==key){
		return 0;
	}else if(T->data>key){
		BST_Insert(T->lchild,key);
	}else {
		BST_Insert(T->rchild,key);
	}
} 

//销毁操作
void BST_Destroy(BSTree&T){
	if(T==NULL)return ;
	BST_Destroy(T->lchild);
	BST_Destroy(T->rchild);
	free(T);
} 

//递归查询节点
BSTNode*BST_Search(BSTree T,int key){
	if(T==NULL)return NULL;
	if(T->data==key){
		return T;
	}else if(T->data>key){
		BST_Search(T->lchild,key);
	}else{
		BST_Search(T->rchild,key);
	}
} 
//非递归查询
BSTNode*BSTSearch(BSTree T,int key){
	while(T!=NULL&&T->data!=key){
		if(T->data>key){
			T=T->lchild; 
		}else{
			T=T->rchild;
		}
	}
} 

//中序遍历二叉排序树(有序)
void  BST_display(BSTree T){
	if(T==NULL)return;
	BST_display(T->lchild);
	printf("%d  ",T->data);
	BST_display(T->rchild);
}

//删除节点操作
//情况一
void DeleteBSTOne(BSTree T,int key){
	if(!T){
		printf("不存在删除的节点!\n");
	}else{
		if(T->data==key){
			free(T);
			printf("删除成功!\n");
		}else if(T->data>key){
			DeleteBSTOne(T->lchild,key);
		}else{
			DeleteBSTOne(T->rchild,key);
		}
	}
} 
//情况二,三 
void  DeleteBSTwoThree(BSTNode*p){
	//如果*p不存在右子树，那么只需要将左子树挂到双亲上 
	BSTNode*q=NULL;
	if(!p->rchild){
		q=p;
		p=p->lchild;
		free(q);
	}else if(!p->lchild){//否则接右子树 
		q=p;
		p=p->rchild;
		free(q);
	}else{//左右子树都不空情况 
		q=p;
		BSTNode*s=p->lchild;
		//找到直接前驱，也就是*P左子树的最大值 
		while(s->rchild){
			q=s;//q指向节点s的双亲 
			s=s->rchild;
		} 
		p->data=s->data;
		if(q!=p){
			q->rchild=s->lchild;
		}else{
			q->lchild=s->lchild;
		}
		free(s);
	}
	printf("删除节点成功!");
	return ;
}

int main(){
	BSTree T=NULL;
	int key;
	BSTNode*p; 
	int flag;
	while(1){
		int opt;
		BSTreemenu();
		printf("请输入操作: ");
		scanf("%d",&opt);
		switch(opt){
			case 1:
				printf("请输入元素(end=-1): ");
				scanf("%d",&key);
				while(key!=-1){
					flag=BST_Insert(T,key);
					if(flag==0){
						printf("该元素已经存在\n");
					}
					printf("请输入元素(end=-1): ");
					scanf("%d",&key);
				}
				break;
			case 2:
				printf("请输入要查找的元素: ");
				scanf("%d",&key);
				p=BST_Search(T,key);
				if(p!=NULL){
					printf("查找的元素为: %d\n",p->data);
				}else{
					printf("查找的元素不存在\n");
					//不存在该元素，则插入 
					BST_Insert(T,key);
				}
				break;
			case 3:
				//这里删除节点只操作了叶子节点，关于有左子树（或者右子树），左右子树都不空情况代码已经实现，读者可以
				//自己尝试 
				printf("请输入删除节点的值: ");
				scanf("%d",&key);
				DeleteBSTOne(T,key);
			case 4:
				BST_display(T);
				printf("\n");
				break; 
			default:
				flag=5;
				printf("退出操作:\n");
				BST_Destroy(T);
				break;
		} 
		if(flag==5)break;
	}
	return 0;
}

二叉排序树详解以及实现

1.二叉排序树概念

2.二叉排序树的插入

（1）二叉排序树的插入过程

（2）节点插入实现

3.二叉排序树的查找

4.二叉排序树的遍历

5.二叉树排序树节点的删除

（1）删除二叉排序树节点*P

6.完整的流程测试

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