二分是一种常用而且非常精妙的算法,常常是我们解决问题的突破口。二分的基本用途是在单调序列或单调函数中做查找操作。因此,当问题的答案具有单调性时,就可以通过二分把求解转化为判定(根据复杂度理论,判定的难度小于求解)。进一步的,我们还可以通过三分(适用于求解凸性函数)解决单峰函数的极值以及相关问题。
- 二分
思想:分而治之。将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题相同,(如果子问题的规模仍然不够小,,再划分为k个子问题),然后递归的求解这些子问题,最后用适当的方法将各个子问题的解合并成原问题的解。
方法:a)二分查找:在一个单调有序的集合或函数中查找一个解,每次分为左右两部分,判断解在哪个区间(并调节上下界),并直到找到目标元素。
int binary_search(int x) { int l = 0, r = n; while (l < r) { int mid = (l + r) >> 1; if (a[mid] == x) { return mid; } if (a[mid] < x) { l = mid + 1; } else { r = mid; } } return - 1; }
b)二分答案:(最大值最小或最小值最大这类问题)这类双最值问题常常选用二分法求解(二分之后,先假装自己确定答案),配合贪心,DP等算法,检验这个答案是否合理,将最优化问题转化为判定性问题。
c)代替三分:(对于单峰函数)二分导函数求函数极值。
例题:Bzoj1734 Poj2018 ... ...
题目描述
Dilhao 一共有 n 本教科书,每本教科书都有一个难度值,他每次出题的时候都会从其中挑两本教科书作为借鉴,如果这两本书的难度相差越大,Dilhao 出的题就会越复杂,也就是说,
一道题的复杂程度等于两本书难度差的绝对值。
这次轮到 ldxxx 出题啦,他想要管 Dilhao 借 m 本书作为参考去出题,Dilhao 想知道,如果 ldxxx 在Dilhao给出的
m 本书里挑选难度相差最小的两本书出题,那么 ldxxx 出的题
复杂程度最大是多少?
输入
第一行是 n 和 m。
接下来的 n 行,每行一个整数 a[i] 表示第i本书的难度。
6 3
5
7
1
17
13
10
5
7
1
17
13
10
输出
一个整数为 ldxxx 出的题复杂程度的最大值。
7
样例解释
Dilhao给了ldxxx难度为1,10,17的三本书,ldxxx挑选难度为10和17的两本书,出题复杂度为7;
如果Dilhao给出其他任何三本书,其中的两本书难度差的最小值都小于7,所以ldxxx出题的最大复杂程度为7。
数据说明
对于 30%的数据: 2<=n<=20;
对于 60%的数据: 2<=n<=1000;
对于 100%的数据: 2<=n<=100000, 2<=m<=n, 0<=ai<=1000000000。
如果Dilhao给出其他任何三本书,其中的两本书难度差的最小值都小于7,所以ldxxx出题的最大复杂程度为7。
数据说明
对于 30%的数据: 2<=n<=20;
对于 60%的数据: 2<=n<=1000;
对于 100%的数据: 2<=n<=100000, 2<=m<=n, 0<=ai<=1000000000。
题解:二分
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int diff[100010];
int n, m, tmp, cnt;
bool check (int x) {
cnt = 1;
int tmp = diff[1];
int flag_one = 1;
while (cnt < m) {
int next = tmp + x;
int flag = lower_bound(diff + flag_one, diff + n + 2, next) - diff;
if (flag == n + 1) {
return false;
}
cnt += 1;
flag_one = flag;
tmp = diff[flag];
}
return true;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> diff[i];
}
sort(diff + 1, diff + n + 1);
int l = 0;
int r = diff[n];
int ans;
diff[n + 1] = 2 * diff[n];
while (l <= r) {
int mid = (l + r) / 2;
if (check(mid) == true) {
ans = mid;
l = mid + 1;
} else {
r = mid - 1;
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
- 三分
适用于凸性函数的极值问题(二次函数就是一个典型的单峰函数)。与二分法强调函数的单调性不同,三分法强调函数的单峰性。