这里不对卡尔曼滤波（Kalman Filter）作入门级介绍，有兴趣的请自行查阅相关资料。这篇短文的目的主要是探讨卡尔曼平滑（Kalman smoother）的作用，提醒注意卡尔曼平滑在离线数据处理中的重要作用。
在PRML第637页，提到在线性动态系统（LDS: lineardynamical systems）中，前向迭代为卡尔曼滤波，反向迭代为卡尔曼平滑。那么，这里的卡尔曼平滑指的是什么呢？网上搜索，基本也只有卡尔曼滤波的介绍，鲜有提及卡尔曼平滑的。事实上，对于离线数据，经过卡尔曼平滑的处理，可以获得比仅进行卡尔曼滤波更高的精度。
假设有隐变量序列z(1),z(2),… z(N)和观测变量序列x(1),x(2),… x(N)，我们的目的是利用序列X推断计算序列Z。卡尔曼滤波也就是前向迭代计算的是alpha_caret(zn) = p(zn|x1,...xn)的均值mu和方差V，其中均值序列mu即为经过卡尔曼滤波得到的隐变量序列z。也就是说，在计算第n个隐变量z(n)的均值时，只使用了前n个x值的信息，而没有使用x(n+1),… x(N)。这适用于在线数据实时计算的场景，即在计算z(n)时，只接收到了x(1),… x(n)，而尚未获得x(n+1),… x(N)。但是，在离线数据计算时，也就是已经全部获得x(1),…x(N)数据之后再计算z(n)时，完全可以使用所有x数据，即计算p(zn|x1,...xN)（注意下标的变化）。按照PRML书中变量定义，也就是计算gamma(zn)=p(zn|X)的均值mu_caret和V_caret，其中mu_caret即为经过卡尔曼滤波和平滑之后预测的隐变量序列z。从计算过程上来说，需要先正向迭代进行卡尔曼滤波，再反向迭代进行卡尔曼平滑。具体算法可参见PRML第13章。
实际计算可知，在离线数据计算中，因为使用了更多的观测数据，经过卡尔曼滤波和平滑之后，相比于只有卡尔曼滤波，结果精度可进一步提升。详尽如下代码及计算结果。
计算结果（注意与 http://blog.csdn.net/foreseerwang/article/details/77503723 对比）：
****************************************************************
观测误差均值为：0.829；均方差为：1.065
滤波后误差均值为：0.165；均方差为：0.241
滤波+平滑后误差均值为：0.113；均方差为：0.143
****************************************************************
代码如下：
clear all; close all; rng('default');
%% 2017.9.7
% kalman filter + kalman smoother
% web: http://blog.csdn.net/foreseerwang
% QQ: 50834
%% 初始化参数
n_iter = 300; % 计算连续n_iter个时刻
n = 2; % 隐变量设定两个维度：[温度，变化间隔]
m = 1; % 观察变量仅设定一个维度：温度
% 生成试验数据。真实温度序列为xreal，观测到的温度序列为z
% 下面迭代计算时只会用到z，xreal只在最后对比结果时使用
xrate=0.01; % 温度变化率
xreal = 24+(0:n_iter-1)*xrate; % 真实温度。温度变化间隔为1
z = xreal + randn(m,n_iter); % 观测到的温度，误差方差为1
% 基于序列z，应用卡尔曼滤波和平滑后的预测
x_fwd = zeros(n, n_iter); % 状态（隐变量），经过前向Kalman滤波后的结果
x_bwd = zeros(n, n_iter); % 状态（隐变量），经过Kalman前向滤波和后向平滑后的结果
V_fwd = zeros(n, n, n_iter); % x_fwd的方差，温度及变化间隔的方差
V_bwd = zeros(n, n, n_iter); % x_bwd的方差，温度及变化间隔的方差
P = zeros(n, n, n_iter-1); % 中间变量
% 卡尔曼滤波器相关参数
% A：状态转移矩阵，根据上一时刻x值预测当前x值
% 这里直接使用了真实的x变化率xrate，
% 事实上，随机设定xrate同样可以得到基本相同的结果
kf_para.A=[1,xrate;0,1];
kf_para.H = zeros(m,n); % 观测转换矩阵，即：z=H*x
kf_para.H(1)=1; % 只关心温度，所有只观察x的第一个维度
kf_para.Q = [4e-4, 0; 0, 1e-4]; % 预测误差的方差
kf_para.R = 0.25; % 观察误差的方差
%% 迭代
% 前向卡尔曼滤波（Kalman Filter）
x_fwd(:,1)=[z(1); 0.9]; % 初始化，第一个时刻的温度及变化间隔
V_fwd(:,:,1)=diag(rand(n,1)); % 随机初始化
for ii = 2:n_iter,
xtmp = kf_para.A*x_fwd(:,ii-1);
P(:,:,ii-1) = kf_para.A*V_fwd(:,:,ii-1)*...
kf_para.A' + kf_para.Q; % PRML式13.88
K = P(:,:,ii-1)*kf_para.H'/...
(kf_para.H*P(:,:,ii-1)*kf_para.H'+kf_para.R); % PRML式13.92
x_fwd(:,ii) = xtmp+K*(z(ii)-kf_para.H*xtmp); % PRML式13.89
V_fwd(:,:,ii)=(eye(n)-K*kf_para.H)*P(:,:,ii-1); % PRML式13.90
end
% 反向卡尔曼平滑（Kalman Smoother）
% 这两个式子在PRML中没有直接列出，可以自行推导
x_bwd(:, n_iter) = x_fwd(:, n_iter);
V_bwd(:, :, n_iter) = V_fwd(:, :, n_iter);
for ii = n_iter-1:-1:1,
J=V_fwd(:,:,ii)*kf_para.A'/P(:,:,ii); % PRML式13.102
x_bwd(:,ii)=x_fwd(:,ii)+J*(x_bwd(:,ii+1)-...
kf_para.A*x_fwd(:,ii)); % PRML式13.100
V_bwd(:,:,ii)=V_fwd(:,:,ii)+...
J*(V_bwd(:,:,ii+1)-P(:,:,ii))*J'; % PRML式13.101
end;
%% 结果打印
figure; hold on;
plot(xreal, 'k.'); plot(z,'bo'); plot(x_fwd(1,:),'g*');
plot(x_bwd(1,:), 'rd');
leg=legend('真实温度', '观测温度', '卡尔曼滤波',...
'卡尔曼滤波+平滑', 'Location', 'NorthWest');
set(leg,'Fontsize',20);
title('卡尔曼滤波和平滑效果图', 'FontSize', 20);
xlabel('样本点序列', 'FontSize', 20);
ylabel('温度', 'FontSize', 20);
figure;
plot(x_fwd(2,:));
title('滤波后的温度变化间隔（真实值为1）', 'FontSize', 20);
fprintf('****************************************************************\n');
fprintf('观测误差均值为：%5.3f；均方差为：%5.3f\n', ...
mean(abs(z-xreal)), std(z-xreal));
fprintf('滤波后误差均值为：%5.3f；均方差为：%5.3f\n', ...
mean(abs(x_fwd(1,:)-xreal)), std(x_fwd(1,:)-xreal));
fprintf('滤波+平滑后误差均值为：%5.3f；均方差为：%5.3f\n', ...
mean(abs(x_bwd(1,:)-xreal)), std(x_bwd(1,:)-xreal));
fprintf('****************************************************************\n');