bzoj1022/洛谷P4279 关于Nim游戏的一点理解

题目分析

https://www.cnblogs.com/Robert-Yuan/p/5282669.html

Nim游戏

马上就要到高考假了，老师给大家发了许多许多卷子作为礼物，小L将各科卷子分类放好之后，小B说了一个提议：

我们来玩一个游戏吧，每次选择一堆卷子，轮流从其中拿走几张，但是不能不拿。谁没有卷子拿了，谁就输了。输了的人要帮赢了的人写一张卷子。

小L觉得海星，反正她也不想写卷子。结果小B赢了无数次，这令小L困惑不已，只见小B露出了一个神秘的微笑。
莫非是有必胜策略？小L仔细思考，发现自己果然被小B坑了：
假设第i堆试卷有$S(i)$张，则S的异或和k为0的为必败状态P,否则为必胜状态N。这是由于：

1.如果当前处于N,则下一步必到P
如果当前取了第i堆的石子，使该堆变为$B(i)$个石子，$A(1) xor A(2)xor... B(i) xor...=k_2=0$，则有$k_2 xor k=0$，则有$A(i) xor B(i)=0$即$A(i)=B(i)$，与不能不取矛盾。
2.如果当前处于P,则下一步可到N
找到所有A中的最大值A(i)，则其二进制下最高为1的位一定是k二进制下最高为1的位，那么A(i)异或k小于A(i)，所以让A(i)异或一下k是一个合法策略，并且这样$k_2$会变为0.

其实这种判断方法还可以推广到更一般的博弈游戏上去，成为SG定理……但是小L并不关心这些，她现在很生气要去找小B算账。

Nim游戏的变形

小B又露出一个神秘的微笑，然后说道：

这样吧，我们再玩一轮。谁拿走最后一张卷子就输了，如果你赢了就不用帮我写卷子了。

小L觉得自己已经学会了Nim游戏，一定不会输的！
……然后就输了。
难道这种游戏还有什么玄机？小L略一思索，忽然恍然大悟。
记老师很仁慈只布置了一张试卷的堆为$K_1$，有多于1张卷子的堆为$K_2$。
然后记$P$状态下，无$K_2$堆的记做$P_0$，一个$K_2$堆的记做$P_1$，否则记做$P_2$。同理定义$N_0$，$N_1$和$N_2$。
那么:
1.$N_0$必败。

因为有奇数个$K_1$堆，轮流拿就先手必败了。

2.$P_0$必胜。

偶数个$K_1$堆，轮流拿先手必胜。

3.$N_1$必胜。

因为如果有奇数个$K_1$堆，就把那个$K_2$堆一窝端了。否则让$K_2$堆留下一张“革命的火种”。

4.$P_1$不存在。

因为那些$K_1$堆异或和不是1就是0，显然剩下那个$K_2$堆里面试卷数量是多少都不可能让总异或和为0。

5.$N_2$必胜，$P_2$必败。

你不可能一口气让两个$K_2$堆消失，所以$P_2$只能转到$N_1$或是$N_2$，当然$N_1$是必胜的啦，所以要尽量往$N_2$转。
而$N_2$状态下，A最大的那一堆i一定是个$K_2$堆，让其异或k。如果此时它变成了一个$K_1$堆，说明除i堆外的异或和为1。显然其他堆要么全是$K_1$堆（但那就不是$N_2$状态了），要么有两个以上的$K_2$堆，这样操作后的$K_2$堆个数不会少于两个。而如果异或后它还是一个$K_2$堆，那么$K_2$堆个数也不会少于两个，也就是说$N_2$状态绝对可以转化为$P_2$状态。
所以这么转来转去，最后的归宿一定是$N_1$状态了啊……
然后就$N_2$必胜，$P_2$必败了。

技不如人，甘拜下风。小L只能帮小B去写卷子了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read() {
    int q=0;char ch=' ';
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') q=q*10+ch-'0',ch=getchar();
    return q;
}
#define RI register int
int T,n,js,kl;
int main()
{
    T=read();
    while(T--) {
        n=read();js=0,kl=0;
        for(RI i=1;i<=n;++i) {
            int x=read();kl^=x;
            if(x>1) ++js;
        }
        if((js==0&&kl==0)||(js>0&&kl)) puts("John");
        else puts("Brother");
    }
    return 0;
}