【bzoj1022】小约翰的游戏John

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Solution

​　　 这题其实是裸的反Nim，这里主要是为了写反Nim游戏的证明

​　　 首先给出反Nim（anti-nim）的定义和结论：

【定义】桌子上有 N 堆石子，游戏者轮流取石子； 每次只能从一堆中取出任意数目的石子，但不能不取；取走最后一个石子者败

【结论】先手必胜当且仅当满足下面两个条件中的一个

​　　 (1)所有堆的石子数都为\(1\)且游戏的\(sg\)值为\(0\)

​　　 (2)有些堆的石子数大于\(1\)且游戏的\(sg\)值不为\(0\)

​ ​　　 

​　　 然后我们来证明anti-nim游戏的结论，可以分成两种情况讨论（以下内容摘自论文）：

1、每堆只有\(1\)个石子：

​　　 那么显然先手必胜当且仅当石子堆数\(n\)为偶数

2、其他情况：

​​　　 (1)当游戏的\(sg\)值不为\(0\)时：若还有至少两堆石子的数目大于$ 1$，则先手将 \(sg\)值变为 $0 \(即可；若只有一堆石子数大于\) 1$，则先手总可以将状态变为有奇数个\(1\)（可以把大于\(1\)的那堆直接取完或者取剩\(1\)个），所以，当\(sg\)不为\(0\)时先手必胜

​​　　 (2)当游戏的\(sg\)值为\(0\)时：至少有两堆石子的数目大于 \(1\)，则先手决策完之后，必定至少有一堆的石子数大于 \(1\)，且\(sg\)值（当前游戏局面的）不为\(0\)，由上段的论证我们可以发现，此时，无论先手如何决策，都只会将游戏带入先手必胜局，所以先手必败

​　　 

​　　 代码大概长这个样子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,T,ans,cnt;

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    int x;
    scanf("%d",&T);
    for (int o=1;o<=T;++o){
        ans=0; cnt=0;
        scanf("%d",&n);
        for (int i=1;i<=n;++i){
            scanf("%d",&x),ans^=x;
            if (x>1) ++cnt;
        }
        if (cnt==0) printf(n%2?"Brother\n":"John\n");
        else printf(ans?"John\n":"Brother\n");
    }
}