本文是高级数据结构系列第2篇。
引入
您需要维护一个数据结构，支持：
1、把无重复元素的a,b所在的两集合合并为一个集合。
2、问a,b元素是否在同一个集合内。
其中，1与2号操作的次数总和不超过m(m<=5*1E6)，a,b的大小不超过n(n<=1E6)
朴素算法
看似还要维护集合，很麻烦，但是……
我们可以使用图论模型来解这道题（虽然过不了）。
很显然，我们可以直接在图中每次对1操作用邻接表连边，对2操作用BFS判断是否在同一个联通块内（DFS会爆栈）。最坏情况下，复杂度会变为O(nm)，是跑不过的。
介绍
既然图论这条路似乎走不通，那我们就在回到原来的问题。
先考虑最简单的问题：假设合并的只有a,b两个元素，如何解决？
合并a,b与合并b,a显然等价。
那么，我们就可以从a连一条指向b的边，如下图所示：
这给我们了一个启示：集合问题其实可以用树来解决，每个树的根（不包括它的子树的根）便可以代表这个集合，其中的元素即这棵树的所有元素。
例如，a向c连了一条边，b向c连了一条边，则a,b都属于c所代表的集合。
这样的话，合并集合就是将A集合的根变为B集合根的儿子。
查询在不在同一个集合中，只要分别求出所在树的根，判断是否一样就行了！
int ask(int x){
return fa[x]==x?x:ask(fa[x]);
}//询问第i个节点所在的树的根
void merge(int a,int b){
a=ask(a),b=ask(b);//分别找到自己所在集合的“代表”
if (a!=b) fa[a]=b;
}
void query(int a,int b){
a=ask(a),b=ask(b);
if (a!=b) printf("no\n");
else printf("yes\n");
}
int main(){
for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
//最开始时，每个孩子都向自己指一条边
for (int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&opt,&a,&b);
if (opt==1) merge(a,b);
else query(a,b);
}
return 0;
}看似已经是很优越的算法了，但是只要是树，就有可能退化为链，这里也确实会，而且更可怕的是用ask()会爆栈。
于是我们有一种极为优异的方法：路径压缩。
路径压缩
在如上的ask函数中，我们想一下：如果a，b所在的树根一样，那他们肯定在同一个集合里。而且，如果在同一个集合中，他们的父亲是什么完全没有关系，只要他们的祖先一样就行了！
那我们就可以让同属一个集合的两个元素都成为根的孩子喽？这样树上这条链的高度就最多是2了。
然后把上文中的a，b换成“一个节点”和“这个节点的父亲”。于是，每次询问的时候，我们就可以把（一个节点与他的父亲）的父亲都设成根节点。
int ask(int x){
return fa[x]==x?x:fa[x]=ask(fa[x]);//只多了这么一句话
}//询问第i个节点所在的树的根
void merge(int a,int b){
a=ask(a),b=ask(b);//分别找到自己所在集合的“代表”
if (a!=b) fa[a]=b;
}
void query(int a,int b){
a=ask(a),b=ask(b);
if (a!=b) printf("no\n");
else printf("yes\n");
}
int main(){
for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
//最开始时，每个孩子都向自己指一条边
for (int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&opt,&a,&b);
if (opt==1) merge(a,b);
else query(a,b);
}
return 0;
}P.S.：其实，还有一种按照集合内元素多少进行合并的更高效算法（即修改merge），但是一般上面这个就够了，而且我也不会写。
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