洛谷2480 bzoj1951 SDOI2010 古代猪文 数论+卢卡斯定理+CRT+费马小定理

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题意：给你一个$n$，一个$g$，求

$$g^{\sum_{d|n}C_n^d}\%999911659$$
题解：
一道不错的数论综合题。
根据欧拉定理或者费马小定理，我们可以知道 $$g^{\sum_{d|n}C_n^d} \equiv g^{\sum_{d|n}C_n^d(mod\ 999911659-1)}(mod\ 999911659)$$
有一个好消息是，我们对 $999911658$质因数分解后，我们发现它 $=2*3*4679*35617$，每个数都是质数并且次数都是 $1$，把这四个质数记作 $pr_1、pr_2、pr_3、pr_4$。然而没发现这个性质的我一开始写了一发扩展卢卡斯定理，结果TLE了，只有70分。后来发现我们只需要 $O(\sqrt{n})$寻找 $n$的所有因数，然后对于每个因数 $p$分别算出对于分解出的 $2$、 $3$、 $4679$、 $35617$四个质数的 $C_n^x\%pr_i$的结果，然后由于都是质数，可以使用中国剩余定理合并，最后再快速幂求解即可。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long mod=999911658,n,g,ans,pr[10],fac[5][50001];
inline long long ksm(long long x,long long y,long long p)
{
    long long res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        res=(res*x)%p;
        x=(x*x)%p;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
inline long long c(long long n,long long m,long long i)
{
    if(m>n)
    return 0;
    return fac[i][n]*ksm(fac[i][m],pr[i]-2,pr[i])%pr[i]*ksm(fac[i][n-m],pr[i]-2,pr[i])%pr[i];
}
inline long long lucas(long long n,long long m,long long i)
{
    if(!m)
    return 1;
    return c(n%pr[i],m%pr[i],i)*lucas(n/pr[i],m/pr[i],i)%pr[i];
}
inline long long solve(long long n,long long m)
{
    long long res=0;
    for(int i=1;i<=4;++i)
    res=(res+(mod/pr[i])*ksm(mod/pr[i],pr[i]-2,pr[i])%mod*lucas(n,m,i))%mod;
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&g);
    pr[1]=2;
    pr[2]=3;
    pr[3]=4679;
    pr[4]=35617;
    if(g==mod+1)
    {
        printf("0\n");
        return 0;
    }
    g=g%(mod+1);
    fac[1][0]=1;
    fac[2][0]=1;
    fac[3][0]=1;
    fac[4][0]=1;
    for(int i=1;i<=4;++i)
    {
        for(int j=1;j<=pr[i];++j)
        fac[i][j]=(fac[i][j-1]*j)%pr[i];
    }

    for(long long i=1;i<=sqrt(n);++i)
    {
        if(n%i==0)
        {
            if(i*i==n)
            ans=(ans+solve(n,n/i))%mod;
            else
            {
                ans=(ans+solve(n,n/i))%mod;
                ans=(ans+solve(n,n/(n/i)))%mod;
            }
        }
    }
    ans=ksm(g,ans,mod+1);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}