HDU 6305 笛卡尔树

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题意：
给定一个数组$a$，现在存在一个数组$b$，其元素值在$[0,1]$随机生成，若数组$a,b$生成的笛卡尔树同构，则数组$b$的价值为$\sum b[i]$，否则为$0$，求数组$b$的期望价值为多少？

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思路：
首先构建$a$数组的笛卡尔树，此时有一个结论是：
$b$数组与$a$数组同构的概率是

$$p = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{size[i]}$$
$size[i]$代表以第 $i$个节点为根的子树大小。

为什么成立呢？假设我们先生成$n$个$[0,1]$的互不相等的数，随后全排列，假设$a$数组中最大的数的下标为$id$，则$b$数组中下标$id$处也应该填入最大的数，而此条件成立的概率为$\frac{1}{n}$。此时对于$id$左右的两个区间，同样需要满足该条件，即最大值下标应该相同。将所有独立区间满足条件的概率乘起来，即为总概率。

随后，因为每个数都在[0,1]中等概率随机生成，则期望值为$1/2$，故$n$个数和的期望值为$n/2$。
此时期望价值为：

$$\frac{n}{2}p + (1-p)*0 = \frac{n}{2\prod size[i]}$$

故$dfs$统计一下笛卡尔树每个节点为根的子树的$size$即可。

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代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> PII;

const int mod = 1e9 + 7;
const int A = 1e6 + 10;
int n, tot, Sta[A], L[A], R[A], vis[A];
ll Inv[A], ans;
PII a[A];

int dfs(int u){
    int siz = 1;
    if (L[u]) siz += dfs(L[u]);
    if (R[u]) siz += dfs(R[u]);
    ans = ans * Inv[siz] % mod;
    return siz;
}

int build_Tree(){
    tot = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) L[i] = R[i] = vis[i] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int k = tot;
        while (k > 0 && a[Sta[k - 1]] < a[i]) k--;
        if (k) R[Sta[k - 1]] = i;
        if (k < tot) L[i] = Sta[k];
        Sta[k++] = i;
        tot = k;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) vis[L[i]] = vis[R[i]] = 1;
    int rt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (vis[i] == 0) rt = i;
    }
    return rt;
}

int main(){
    Inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < A; i++) Inv[i] = Inv[mod%i] * (mod - mod / i) % mod;
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            a[i] = make_pair(x, -i);
        }
        ans = 1LL * n * Inv[2] % mod;
        int rt = build_Tree();
        dfs(rt);
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}