[状压DP]【NOIP2016D2T3】愤怒的小鸟 题解

【题目描述】

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于 $(0,0)$ 处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如 $y=ax^2+bx$ 的曲线，其中$a,b$是 Kiana 指定的参数，且必须满足 $a<0$，$a,b$ 都是实数。

当小鸟落回地面（即 $x$ 轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 $n$ 只绿色的小猪，其中第 $i$ 只小猪所在的坐标为 $(xi,yi)$。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了$(xi,yi)$，那么第 ii 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 $(xi,yi)$，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第$i$ 只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于$(1,3)$ 和 $(3,3)$，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 $y=−x^2+4x$ 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有 $T$ 个关卡，现在 Kiana 想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

输入

从标准输入读入数据。

第一行包含一个正整数 $T$，表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这 $T$ 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数$n,m$，分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 $n$ 行中，第 ii 行包含两个正实数$xi,yi$，表示第 ii 只小猪坐标为 $(xi,yi)$。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果 $m=0$，表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。

如果 $m=1$，则这个关卡将会满足：至多用 ⌈n/3+1⌉⌈n/3+1⌉ 只小鸟即可消灭所有小猪。

如果 $m=2$，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 ⌊n/3⌋⌊n/3⌋ 只小猪。

保证 $1≤n≤18$，$0≤m≤2$，$0<xi,yi<10$，输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中，符号 $⌈c⌉$ 和 $⌊c⌋$ 分别表示对 $c$ 向上取整和向下取整，例如：$⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3$。

输出

输出到标准输出。

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

样例一

input

2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

output

1
1

explanation

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与问题描述中的情形相同，2 只小猪分别位于 $(1.00,3.00)$ 和 $(3.00,3.00)$，只需发射一只飞行轨迹为 $y=−x^2+4x$ 的小鸟即可消灭它们。

第二个关卡中有 5 只小猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 $y=−x2+6x$ 上，故 Kiana 只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。

样例二

input

3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00

output

2
2
3

样例三

input

1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99

output

6

限制与约定

数据的一些特殊规定如下表：

时间限制：2s
空间限制：512MB

【解题分析】

n比较小，所以可以考虑状压DP或DFS，这里考虑DP。

由于抛物线中的一点已经确定为原点，所以根据三点（不完全hehe）确定一条抛物线，我们可以枚举两个点，然后判断抛物线是否合法（怎么求抛物线看代码，或者自己推，不难）。如果合法，求这条抛物线可以达到哪些点（当然也是用二进制求），然后就直接推，由于上一状态不好找,可以考虑从这一状态推出去。转移方程……略，因为连我这种蒟蒻都觉得很简单。

复杂度：
时间：$O(n^3+n^2*2^n)$ 空间：$O(2^n)$；

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int tst,n,m,g[20][20],f[1<<19];
struct data{
    double x,y;
    bool operator < (const data b)const{
        return x<b.x||(x==b.x&&y<=b.y);
    }
}a[20];
int fcmp(const double x,const double y){if (fabs(x-y)<1e-10) return 0; return (x>y)?1:-1;}
int main()
{
    freopen("angrybirds.in","r",stdin);
    freopen("angrybirds.out","w",stdout);
    scanf("%d",&tst);
    while (tst--){
        scanf("%d%d",&n,&m); m=(1<<n)-1; for (int i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
        sort(a,a+n); memset(g,0,sizeof(g));
        for (int i=0;i<n-1;i++)
            for (int j=i+1;j<n;j++)
                if (fcmp(a[i].x,a[j].x)){
                    double A,B,xa=a[i].x,xb=a[j].x,ya=a[i].y,yb=a[j].y; A=(ya*xb-yb*xa)/(xa*xb*(xa-xb));
                    if (fcmp(A,0)>=0) continue; B=(ya-A*xa*xa)/xa; if (fcmp(B,0)<=0) continue;
                    for (int k=0;k<n;k++) if (!fcmp(a[k].x*a[k].x*A+a[k].x*B,a[k].y)) g[i][j]|=(1<<k);
                }
        memset(f,63,sizeof(f)); f[0]=0;
        for (int s=0;s<m;s++)
            for (int i=0;i<n;i++)
                if (!(s&(1<<i))){
                    f[s|(1<<i)]=min(f[s|(1<<i)],f[s]+1);
                    for (int j=i+1;j<n;j++)
                        f[s|g[i][j]]=min(f[s|g[i][j]],f[s]+1);
                }
        printf("%d\n",f[m]);
    }
    return 0;
}