【CodeForces】【DP】958C2 Encryption (medium)

CodeForces 958C2 Encryption (medium)

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题目大意

给定$N,K,p$及一个长度为$N$的数组$A$，要求将数组$A$分成$K$段，每段求和后对$p$取模，将每段求得的结果相加，记为$S$，求$S$的最大值。

思路

极其明显的一道区间DP题。

记$sum[i]$为前$i$个数之和模$p$的值。

定义$f[i][j]$为将前$i$个数分为$j$段所得的最大值，则易得状态转移方程：

$$f[i][j]=\max(f[k][j-1]+(sum[i]-sum[k])\mod p)(1\le i\le N,1\le j\le K,1\le k<i)$$
但是，如果这样做的话时间复杂度为 $O(N^2K)$，空间复杂度为 $O(NK)$，都过高，但是我们可以发现： $p$倒是很小的，只有100，所以我们可以优化一下：

定义$f[i][j]$为将$S$对$p$取模后得到的结果为$i$，分成了$j$段所得的最大值，可得状态转移方程：

$$f[sum[i]][j]=\max(f[k][j-1]+(sum[i]-k+p)\mod p)(1\le i\le N,1\le j\le K,0\le k<p)$$
这样，时间复杂度就被优化到了 $O(p^2K)$，空间复杂度就被优化到了 $O(pK)$。

实现细节

注意：在DP之前将f数组设为-INF，f[0][0]设为0。

正解代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int Maxn=20000,Maxmod=100,Maxk=50;

int N,K,Mod,A[Maxn+5];
int sum[Maxn+5];
int f[Maxmod+5][Maxk+5];

int main() {
    #ifdef LOACL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    scanf("%d %d %d", &N,&K,&Mod);
    for(int i=1;i<=N;i++) {
        scanf("%d",&A[i]);
        sum[i]=(sum[i-1]+A[i])%Mod;
    }

    for(int i=0;i<=Mod;i++)
        for(int j=0;j<=K;j++)
            f[i][j]=-0x3f3f3f3f;
    f[0][0]=0;

    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=K;j>=1;j--)
            for(int k=0;k<Mod;k++)
                f[sum[i]][j]=max(f[sum[i]][j],f[k][j-1]+(sum[i]-k+Mod)%Mod);
    printf("%d\n",f[sum[N]][K]);
    return 0;
}