汉诺塔和青蛙跳台阶（递归函数的应用）

1. 汉诺塔

从数学角度来看

如下图所示，从左到右有A、B、C三根柱子，其中A柱子上面有从小叠到大的n个圆盘，现要求将A柱子上的圆盘移到C柱子上去，期间只有一个原则：一次只能移到一个盘子且大盘子不能在小盘子上面，求移动的步骤和移动的次数
这里写图片描述
（1）n == 1

   　　　　　　第1次  1号盘  A---->C       sum = 1 次

(2) n == 2

   　　　　　　第1次  1号盘  A---->B

  　　　　　　 第2次  2号盘  A---->C

   　　　　　　第3次  1号盘  B---->C        sum = 3 次

（3）n == 3

　　　　　　　　第1次 1号盘 A—->C

　　　　　　　　第2次 2号盘 A—->B

　　　　　　　　第3次 1号盘 C—->B

　　　　　　　　第4次 3号盘 A—->C

　　　　　　　　第5次 1号盘 B—->A

　　　　　　　　第6次 2号盘 B—->C

　　　　　　　　第7次 1号盘 A—->C sum = 7 次

不难发现规律：1个圆盘的次数 2的1次方减1

　　　　　　　2个圆盘的次数 2的2次方减1

         3个圆盘的次数 2的3次方减1

         。  。   。    。   。 

        n个圆盘的次数 2的n次方减1

故：移动次数为：2^n - 1

算法：

实现这个算法可以简单分为三个步骤：

　　　　（1）把n-1个盘子由A 移到 B；

　　　　（2）把第n个盘子由 A移到 C；

　　　　（3）把n-1个盘子由B 移到 C
代码如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
void Heneita(int n, char a, char b, char c)
{
    int num = 0;
    if (n==1)
    {
        printf("%c-->%c\n", a, c);
    }
    else
    {
        Heneita(n - 1, a, c, b);
        Heneita(1, a, b, c);
        Heneita(n - 1, b, a, c);
    }
}
int main()
{
    int n = 0;
    scanf("%d", &n);
    Heneita(n,'A','B','C');
    printf("%d\n", (int)pow(2, n) - 1);
    return 0;
}

运行结果：

2.青蛙跳台阶
问题1：一只青蛙一次可以跳上1个台阶，也可以跳上2个台阶。求青蛙跳上n级台阶总共有多少种跳法？
分析：这个问题从前往后分析太过复杂，不妨换个思路，如果青蛙想跳上第n个台阶，就只有两种跳法：从第n-1个台阶跳上来或者从第n-2个台阶跳上来。这样我们就可以先算第n个台阶的跳法然后用递归往下推算。第n个台阶：f(n）=f(n-1）+f(n-2);第一个台阶：f(n)=1;第二个台阶：f(n)=2;发现这个其实是斐波那契数列，如此就简单了。
规律如下图：
代码如下：

#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
    if (n <= 0)
    {
        printf("输入错误\n");
        return 0;
    }
    else if (n == 1 || n == 2)
    {
        return 1;
    }
    else if (n > 2)
    {
        return jump(n - 1) + jump(n - 2);
    }
}
int main()
{
    int n = 0;
    int ret = 0;
    scanf("%d", &n);
    ret = jump(n);
    printf("%d\n", ret);
    return 0;
}

运行结果：

问题2：每次可以跳1–n个台阶，跳上n个台阶有多少中跳法；
分析：同样从后往前分析，跳上第n个台阶有n-1中可能。从第一个台阶直接跳上第n个台阶……………….从第n-1个台阶跳上第n个台阶，一共有：
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+………f(1);
f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+………..f(1);
…………………………………………
…………………………………………..
f(n)=2f(n-1)=4f(n-2)=8f(n-3)=………..=(2^(n-1))f(1);
f(n)=2f(n-1);
f(1)=1;
代码如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int jump(int n)
{
        if (n <= 0)
        {
            printf("输入错误\n");
            return 0;
        }
        else
        {
            return pow(2, n-1);
        }
}
int main()
{
    int n = 0;
    int ret = 0;
    scanf("%d", &n);
    ret=jump(n);
    printf("%d\n", ret);
    return 0;
}
#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
    if (n <=0)
    {
        printf("输入错误\n");
        return 0;
    }
    if (n==1)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return 2*jump(n-1);
    }
}
int main()
{
    int n = 0;
    int ret = 0;
    scanf("%d", &n);
    ret = jump(n);
    printf("%d\n", ret);
    return 0;
}

运行结果：

这里写图片描述

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汉诺塔和青蛙跳台阶（递归函数的应用）

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