动态规划----数塔问题

package com.xjj.algorithm;

import java.util.Scanner;
/*-----动态规划----数塔问题------
 * 1.n层有n个数 ：求第一层到n层每次一个数最大和为多少？
 * 
 * 2.除第一个数每个数都有选与不选两种决策，即每个数都有两个分支：
 * 	   则如果用枚举为  O(2^n)  很大;
 * 
 * 3.令dp[i][j]为第 i 行第 j 个元素到底层的最大和，其值只与  i+1 行  第max(j，j+1)元素有关
 * 		故状态转移方程为	dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]) + a[i][j];
 * 		边界 ： dp[n][j] = a[n][j]		最后一行为元素本身
 * 
 * 
 * */
public class Dp_num_towper {
	public static int n;
	
	public int dp_num(int[][] a){
		//保存到底路径最大和值
		int[][] dp = new int[n+1][n+1];
		//初始化，设置边界
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			dp[n][i] = a[n][i];
		
		//动态转移方程
		for(int i = n-1; i >= 1; i--)
			for(int j = 1; j <= i; j++){
				dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + a[i][j];
			}
		//待求目标值
		return dp[1][1];
	}

	public static void main(String[] args) {
		System.out.println("输入数塔共几层:");
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		n = scanner.nextInt();
		int[][] a = new int[n+1][n+1];
		
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			for(int j = 1; j <= i; j++){
				a[i][j] = scanner.nextInt();
			}
		
		Dp_num_towper dp = new Dp_num_towper();
		System.out.println(dp.dp_num(a));
	}

}

动态规划：

1. 递归：自顶向下--从目标问题开始分解解决，直到到达边界返回为止；

    递推：自底向上--从边界开始解决，直到解决目标问题；（将边界看作底，本题用递推）

2.最优子结构：如果一个问题的最优解可有其子问题的最优解有效地构造出来；

3.一个问题必须是拥有重叠子问题和最优子结构才能用动态规划解决；

4.分治法与动态规划：都是由子问题的解得出原问题的解，但分治法不存在重叠问题；如归并排序及快速排序均由左右序列问题治之，但不重叠，因而是分治法；

5.贪心与动态规划: 贪心是直接通过某一种策略，以单链的流水方式得到所谓“最优”选择，但结果不一定正确（如本题采取每次都取左右两元素中的最大值）--局部最优；但动态规划每次会考虑所有子问题，以得出全局最优。