博弈论五大模型

前四大模型的深入理解

Bash博弈模型

有一堆数量为n的石头，双方轮流每次从堆中取至少1个石头最多m个石头，谁先取完谁赢。

设存在整数k和r使方程**n=k*(m+1)+r**成立,当r==0时先手必败，否则先手必赢。

结论：(m+1)%r == 0, 先手必败

Wythoff博弈模型

有两堆数量分别为x、y(x <= y)的石头，每次可以从一堆中取至少一个石头或者从两堆中取同等数量的石头，谁先取完谁赢。

结论：x == floor( (sqrt(5)+1)/2 )*(y-x), 满足等式时先手必败

Nim博弈模型

有任意m堆、数量任意的石头，每次只能从一堆中获取至少1个石头，谁先取完谁赢

设石头堆Di，Di的异或和k = D1^D2^...^Di，当且仅当k == 0时先手必败，否则先手必赢

结论：D1^D2^...^Di == 0, 先手必败

Fibonacci博弈模型

有一堆数量为n的石头，双方轮流从石头堆里取k[i]个石头(1≤k[i]≤k[i-1])，先取完的人获胜

当且仅当n不是斐波那契数时，先手必胜，否则先手必败

结论：Fib(n) == false, 先手必胜

SG函数

对sg函数的深入理解

定义： P点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。
______ N点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。
定义：设mex{S}为集合S中第一个不存在的正整数
定义：设sg(x)为x状态的sg值，sg(x)=mex{S}，其中S为x的后继状态的sg值的集合
当sg(x) == 0时，没有获胜局面，此时处于P点
性质：1、所有终结点的sg值都为0，即sg(0) == 0
______2、无论在N点如何操作，都至少存在一种情况进入P点
______3、无论如何，P节点的后继节点一定是N节点
______4、无论如何只能进入N点的点一定是P点

例题：HDU 1848：Fibonacci again and again

题解：假设只有一堆数量为n的石子

定义sg(x)函数为当前石子数量的sg函数，每次只能取Fib[]数列的数

sg[0] = 0, Fib[] = {1,2,3,5...}

当x == 1时，可以取Fib[1]个石子，剩余0个石子，sg[1] = mex{sg[0]} = mex{0} = 1;

当x == 2时，可以取Fib[2]、Fib[1]个石子，剩余1、0个石子sg[2] = mex{sg[1],sg[0]} = mex{0,1} = 2;

当x == 3时，可以取Fib[3]、Fib[2]、Fib[1]个石子，剩余2、1、0个石子，sg[3] = mex{sg[2],sg[1],sg[0]} = mex{2,1,0} = 3;

当x == 4时，可以取Fib[3]、Fib[2]、Fib[1]个石子，剩余3、2、1个石子，sg[4] = mex{sg[3],sg[2],sg[1]} = mex{3,2,1} = 0;

......

当x == n时，若sg[n] != 0，先手必胜

对于多堆石子，类比Nim游戏：

sg[n]^sg[m]^sg[k] == 0, 先手必败

#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define rep(i, a, b) for(int i=(a); i<(b); i++)
#define sz(a) (int)a.size()
#define de(a) cout<<#a<<" = "<<a<<endl
#define dd(a) cout<<#a<<" = "<<a<<" "
#define be begin
#define en end
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef vector<int> vi;
const int N = 1005;
vi f;
void fib(){
    f.pb(1), f.pb(1);
    for(int i = 1;f[i] < N;i++){
        f.pb(f[i]+f[i-1]);
    }
    f.erase(f.begin());
}
int sg[N];
void SG(){
    vi::iterator it;
    sg[0] = 0;
    for(int i = 1;i < N;i++){
        set<int> q;
        for(it = f.begin();it != f.end() && *it <= i;it++){
            q.insert( sg[i-(*it)] );
        }
        set<int>::iterator sit = q.begin();
        int t = 0;
        for(;sit != q.end();sit++){
            if(t < *sit) {
                break;
            }
            else
                t = *sit+1;
        }
        sg[i] = t;
    }
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    fib();
    SG();
    int m,n,p;
    while(cin >> m >> n >> p){
        if(m == 0) break;
        if((sg[m]^sg[n]^sg[p]) == 0) cout << "Nacci" << endl;
        else cout << "Fibo" << endl;
    }
    return 0;
}

博弈论模型总结