7.25 题目总结 +题解

考题1传送门

小T的矩阵

得分: $30$
预期: $100$

题意:

$sum_i=xor\sum_{j=1}^na_{ij}$ 第i列

$ans=xor \sum_{i=1}^nsum_i$

学了数论，看这道题目就特别的像数论，但并不是数论。。。

正想思考没有什么希望

反着思考到开了窍

发现

反的 $SUM_i$ 是有规律的。（至于什么规律自己看去）

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然后就预处理就可以了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[1000001];
int main(){
    f[0]=0;
    int n,sum=0;
    int c=-1;
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int tmp=n;
        f[i-1]=abs(f[i-2]+c*(i-1));
        sum=sum^f[tmp%i];
        tmp=tmp/i;
        if(tmp%2==1) sum=sum^f[i-1];
        c=-c;
    }
    cout<<sum;
    return 0;
}

失分原因：没有想到反着思考有结果。

小T的算术

分数：10分
目标：30~60（60不可能）

题意:

求 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m i \ne j ( n \% i) (m \% j)$

解析：

设 n $\le m$

原式 = $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m ( n \% i) (m \% j) - sum_{i=1}^n ( n \% i) (m \% i)$

= $\left[ \sum_{i=1}^n ( n \% i) \right]$ $\left[ \sum_{j=1}^m (m \% j) \right]$ - $sum_{i=1}^n ( n \% i) (m \% i)$

其中 $\sum_{i=1}^n ( n \% i)$ = $\sum_{i=1}^n n- \left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor*i$ = $n^2-\sum_{i=1}^n \left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor*i$

同理 $\sum_{j=1}^m (m \% j)$

$sum_{i=1}^n ( n \% i) (m \% i)$

= $\sum_{i=1}^n (n-\left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor*i)(m-\left\lfloor \dfrac{m}{i} \right\rfloor*i)$

$= sum_{i=1}^n nm - \left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor*m*i-\left\lfloor \dfrac{m}{i} \right\rfloor*n*i+\left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor\left\lfloor \dfrac{m}{i} \right\rfloor*i^2$

直接分块 $O(\sqrt(n))$ AC

#include<bits/stdc++.h>
const int p = 1e9+7 ;
typedef long long ll ;
using namespace std;
ll ans,n,m,tot,sum;
ll xx(ll x,ll y){
    ll res=0;
    for(ll i=1,j;i<=y;i=j+1){
        j=min(x/(x/i),y);
        res=(res+(x/i)*(i+j)%p*(j-i+1)%p*500000004%p)%p;
    }
    return res%p;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);
    n%=p,m%=p;
    ans=(((n*n%p-xx(n,n)+p)%p)*((m*m%p-xx(m,m)+p)%p)%p-n*n%p*m%p+p)%p;
    for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1){
        j=min(n/(n/i),min(m/(m/i),n));
        tot=((((i+j)*(j-i+1)%p)*500000004)%p+p)%p;
        sum=((j*(j+1)%p*(2*j+1)%p-(i-1)*i%p*(i*2-1)%p)%p+p)*166666668%p;
        ans=(ans+m*(n/i)%p*tot%p+n*(m/i)%p*tot%p-sum*(n/i)%p*(m/i)%p+p)%p;
    } 
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

失分原因：数论基础较弱

7.25 题目总结 +题解

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