对于非方矩阵而言，其逆矩阵没有定义。假设在下面的问题中，我们希望通过矩阵A的左逆B来求解线性方程：
等式两边左乘左逆B后，我们得到：
是否存在一个唯一的映射，将A映射到B，取决于问题的形式。
如果矩阵A的行数大于列数，那么上述方程可能没有解；如果矩阵A的行数小于列数，那么上述矩阵可能有很多解。
Moore-Penrose伪逆使我们能够解决这类问题。矩阵A的伪逆定义为：
计算伪逆的实际算法没有基于这个式子，而是使用下面的公式：
当矩阵A的列数多于行数时，使用伪逆求解线性方程是众多可能解法中的一种。具体地，是方程所有可行解中欧几里得范数
最小的一个。
当矩阵A的行数多于列数时，可能没有解。在这种情况下，通过伪逆得到的x是使得Ax和y的欧几里得距离最小的解。