数学基础III 扩展中国剩余定理 扩展Lucas定理 扩展BSGS 原根 指标

扩展中国剩余定理

一般的中国剩余定理只能解决模数互质的情况。扩展中国剩余定理可以解决模数不互质的情况。
考虑依次将$n$个方程合并起来。设前面合并起来的方程是$x=m_uk_u+a_u$，当前枚举到的方程是$x=m_vk_v+a_v$，则联立得到（$x$的符号可忽略）

$$m_uk_u+m_vk_v=a_u-a_v$$
使用扩展欧几里得，求出最小正整数解 $k_u$和 $k_v$。那么我们合并得到的方程就是 $$x=lcm(m_u,m_v)k+m_uk_u+a_u$$
这样合并到最后就能得到答案。

int excrt() {
    int ca = a[0], cm = m[0];
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        int exa = a[i], exm = m[i];
        int d, x, y; 
        exgcd(cm, exm, d, x, y);
        if((exa-ca)%d) return -1; 
        x *= (exa-ca)/d; // 求解不定方程
        ca = cm*x + ca;
        cm = lcm(cm, exm);
    }
    return ca;
}

扩展Lucas定理

Lucas定理只能解决模数是质数的情况。事实上很多扩展定理都是将质数推广到非质数而来的。扩展Lucas定理可以解决模数为任意正整数的问题，复杂度为$O(p^t)$，其中$p^t$是模数分解为的质因数的幂。

首先学习求$n!\mod p^t$。将乘数中将$p$的倍数提出来，除以倍数后依然是阶乘形式，因此这一部分可以递归计算。而其它部分按值域每$(p-1)p^{t-1}$分为一组，它们对$\mod p^t$是同余的，因此计算一组即可，复杂度$O(p^t)$。
举例说明，模数为$3^2时，$$25!\equiv3^8\times 8!\times (1\times2\times4\times5\times7\times8)^3\times 25$。
然后就可以计算$C_n^m\mod p^t$了。
回到原问题，我们将模数质因数分解为$\prod p_i^{t_i}$，设答案为$ans$，则我们得到若干个同余方程$ans\equiv C_n^m(\mod p_i^{t_i})$。使用上述方法算出系数，然后中国剩余定理合并即可。

扩展BSGS

求$a^x\equiv b(\mod m)$，$m$为任意正整数。
因为要求$a^{-1}\mod m$，所以在$\gcd(a,m)=1$时才能用BSGS解。考虑转化成这个形式。
原方程化为$a^{x-1}\frac{a}{\gcd(a,m)}\equiv \frac{b}{\gcd(a,m)}(\mod \frac{m}{\gcd(a,m)})$。将$\frac{a}{\gcd(a,m)}$等看作系数，递归计算直到$\gcd(a,m)=1$。然后反带回去即可。答案$=x+递归次数$。

原根 指标

在模$p$意义下的原根$g$有以下性质：
原根个数$=\varphi(\varphi(p))$；
$g^i\equiv g^j(\mod p)\Leftrightarrow i\equiv j(\mod\varphi(p))$；
指标的定义：$g^{ind(x)}\equiv x$；
由此，$x^k(\mod p)$可转化为$ind(x)\cdot k(\mod\varphi(p))$。
求指标用BSGS，将指标还原用快速幂。

原根的求法

设模数为$p$，将$\varphi(p)$分解为$\prod P_i^{t_i}$。从$2$开始枚举$g$，如果有$g^{\frac{\varphi(p)}{P_i}}\equiv1(\mod p)$满足则不是原根，否则找到一个原根。

二次剩余

本季度内