模板 - 数学 - 扩展中国剩余定理/扩展卢卡斯定理

中国剩余定理：

求同余方程组 $x=c_i\ mod\ m_i m_i$ 两两互质的最小非负整数解。

结论：

$M=\prod\limits_{i=1}^{k}m_k$

$x=\sum\limits_{i=1}^{k}c_i*\frac{M}{m_i}*inv(\frac{M}{m_i},m_i)\ \%\ M$

using namespace std;
#define LL long long

LL k,l,r,n,M,x,y,Min,ans,m[15],c[15];

void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if (!b) x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
int main()
{
    scanf("%d%lld%lld",&k,&l,&r);
    M=1LL;
    for (int i=1;i<=k;++i)
    {
        scanf("%lld%lld",&m[i],&c[i]);
        M*=m[i];
    }
    for (int i=1;i<=k;++i)
    {
        LL a=M/m[i],b=m[i];
        exgcd(a,b,x,y);
        x=(x%b+b)%b;
        if (!x) x+=b;
        n+=c[i]*a*x;
    }
    n%=M;
    if (!n) n+=M;

    if (r>=n)
        ans=(r-n)/M+1;
    if (l>=n) ans=ans-((l-n)/M+1);
    if ((l-n)%M==0) ++ans;
    if (ans)
    {
        if (l<=n) Min=n;
        else Min=n+((l-n)/M+1)*M;
    }
    printf("%lld\n%lld\n",ans,Min);
}

扩展中国剩余定理：

$m_i$ 可以不两两互质。

结论：每两个方程：

$x=c_1\ mod\ m_1$

$x=c_2\ mod\ m_2$

合并成一个方程，有解的条件为 $(c_2-c_1)\%gcd(m_1,m_2)==0$

合并后

$m=\frac{m_1m_2}{gcd(m_1,m_2}=lcm(m_1,m_2)$

$c=inv(\frac{m_1}{gcd(m_1,m_2},\frac{m_2}{gcd(m_1,m_2})*(\frac{c2-c1}{gcd(m_1,m_2)})\%\frac{m_2}{gcd(m_1,m_2}*m_1+c_1$

最终合并成 $x=c\ mod\ m$ ， $x=c\%m$ 即为原问题的一个解。

using namespace std;
#define LL long long
#define N 1005

int k;
LL c[N],m[N],c1,c2,m1,m2,t;
bool flag;

LL gcd(LL a,LL b)
{
    if (!b) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if (!b) x=1LL,y=0LL;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
LL inv(LL a,LL b)
{
    LL x=0LL,y=0LL;
    exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b;
    if (!x) x+=b;
    return x;
}
int main()
{
    while (~scanf("%d",&k))
    {
        flag=true;
        for (int i=1;i<=k;++i)
            scanf("%I64d%I64d",&m[i],&c[i]);
        for (int i=2;i<=k;++i)
        {
            m1=m[i-1],m2=m[i],c1=c[i-1],c2=c[i];
            t=gcd(m1,m2);
            if ((c2-c1)%t!=0) {flag=false;break;}
            m[i]=m1*m2/t;
            c[i]=inv(m1/t,m2/t)*((c2-c1)/t)%(m2/t)*m1+c1;
            c[i]=(c[i]%m[i]+m[i])%m[i];
        }
        if (!flag) puts("-1");
        else printf("%I64d\n",c[k]);
    }
}

卢卡斯定理/Lucas定理

$C_n^m\%p=\prod\limits_{i=0}^{k}C_{n_i}^{m_i}$

p是质数。

using namespace std;
#define LL long long

LL n,m,Mod;

LL fast_pow(LL a,LL p)
{
    LL ans=1LL;
    for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod)
        if (p&1)
            ans=ans*a%Mod;
    return ans;
}
LL inv(LL x)
{
    return fast_pow(x,Mod-2);
}
LL C(LL n,LL m)
{
    if (m>n) return 0LL;
    LL up=1LL,down=1LL;
    for (LL i=n-m+1;i<=n;++i) up=up*i%Mod;
    for (LL i=1;i<=m;++i) down=down*i%Mod;
    return up*inv(down)%Mod;
}
LL lucas(LL n,LL m)
{
    if (m>n) return 0LL;
    LL ans=1;
    for (;m;n/=Mod,m/=Mod)
        ans=ans*C(n%Mod,m%Mod)%Mod;
    return ans;
}
int main()
{
    while (~scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&Mod))
        printf("%lld\n",lucas(n-m+1,m));
}

扩展卢卡斯定理/扩展Lucas定理

p不是质数，质因数分解p，列同余方程组 $ans=c_i\ mod\ p_i^{k_i}$ ，其中 $c_i=C_n^m\%p_i^{k_i}$ ，然后用中国剩余定理合并。

using namespace std;
#define LL long long

LL n,m,MOD,ans;

LL fast_pow(LL a,LL p,LL Mod)
{
    LL ans=1LL;
    for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod)
        if (p&1)
            ans=ans*a%Mod;
    return ans;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if (!b) x=1LL,y=0LL;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
LL inv(LL A,LL Mod)
{
    if (!A) return 0LL;
    LL a=A,b=Mod,x=0LL,y=0LL;
    exgcd(a,b,x,y);
    x=((x%b)+b)%b;
    if (!x) x+=b;
    return x;
}
LL Mul(LL n,LL pi,LL pk)
{
    if (!n) return 1LL;
    LL ans=1LL;
    if (n/pk)
    {
        for (LL i=2;i<=pk;++i)
            if (i%pi) ans=ans*i%pk;
        ans=fast_pow(ans,n/pk,pk);
    }
    for (LL i=2;i<=n%pk;++i)
        if (i%pi) ans=ans*i%pk;
    return ans*Mul(n/pi,pi,pk)%pk;
}
LL C(LL n,LL m,LL Mod,LL pi,LL pk)
{
    if (m>n) return 0LL;
    LL a=Mul(n,pi,pk),b=Mul(m,pi,pk),c=Mul(n-m,pi,pk);
    LL k=0LL,ans;
    for (LL i=n;i;i/=pi) k+=i/pi;
    for (LL i=m;i;i/=pi) k-=i/pi;
    for (LL i=n-m;i;i/=pi) k-=i/pi;
    ans=a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk*fast_pow(pi,k,pk)%pk;
    return ans*(Mod/pk)%Mod*inv(Mod/pk,pk)%Mod;
}
int main()
{
    scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&MOD);
    for (LL x=MOD,i=2;i<=MOD;++i)
        if (x%i==0)
        {
            LL pk=1LL;
            while (x%i==0) pk*=i,x/=i;
            ans=(ans+C(n,m,MOD,i,pk))%MOD;
        }
    printf("%I64d\n",ans);
}