【模板】卢卡斯定理

Lucas定理是用来求 $C_n^m \bmod p$ 的值。其中：$n$, $m$ 是非负整数，$p$ 是素数。一般用于 $n, m$ 很大而 $p$ 很小或 $n, m$ 不大且都大于 $p$ 的情形。

Lucas定理结论：

• $Lucas(n, m, p) = C(n \bmod p, m \bmod p, p) * Lucas(n/ p, m / p, p)$

  其中当 $m = 0$ 时，$Lucas(n, m, p) = 1$。

  $\begin{array}{rcl} C(n, m, p) & = & C_n^m \bmod p \\ & = & \frac{m!}{n! * (n - m)!} \bmod p \\ & = & \frac{m!}{(n - m)!} * (n!)^{-1} \bmod p \\ &=& \frac{m!}{(n - m)!} * (n!)^{p - 2} \bmod p \end{array}$

  其中第三步中 $(n!)^{-1} = (n!)^{p - 2}$ 是应用了 $p$ 是素数这一条件，不明白的可以去看看乘法逆元。

实现的时候还要考虑到组合数的几个性质：

• 当$n < m$ 时 $C_n^m = 0$
• $C_n^m = C_n^{n - m}$

$Code$

LL FastPower(LL a, LL p, LL k) {
    LL ans = 1;
    while (p) {
        if (p & 1)  ans = (ans * a) % k;
        a = (a * a) % k;
        p >>= 1;
    }
    return ans;
}
LL C(int n, int m, int p) {
    if (n < m) return 0;
    if (m > n - m) m = n - m;
    LL s1 = 1, s2 = 1;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        s1 = s1 * (n - i) % p;
        s2 = s2 * (i + 1) % p;
    }
    return s1 * FastPower(s2, p - 2, p) % p;
}
LL Lucas(int n, int m, int p) {
    if (m == 0) return 1;
    return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}