https://www.luogu.com.cn/problem/P3807
卢卡斯定理
结论\(1\)：对于\(k \in [1,p-1]\)，有\({p \choose k} \equiv 0 (\mod p)\)
证明：
\[ {p \choose k}=\frac{p!}{k!(p-k)!}\\ =\frac{p}{k} \times \frac{(p-1)!}{(k-1)![(p-1)-(k-1)]!}\\ =\frac{p}{k} \times {p-1 \choose k-1} \]
结论\(2\)：\((1+k)^p \equiv k^p+1 (\mod p)\)
证明：
\[(1+k)^p=1+\sum_{i=1}^{p-1} {p \choose i} k^i+k^p \equiv 1+k^p (\mod p) \]
设\(n=ap+b(0 \le b<p)\),\(m=cp+d(0\le d<p)\)
\[(1+k)^n=(1+k)^{ap} \times (1+k)^b \\ =(1+k^p)^a \times (1+k)^b\\ =(\sum_{i=0}^a {a \choose i}k^{ip}) \times (\sum_{j=0}^b {b \choose j}k^{j}) \]
我们从\(\sum_{i=0}^a {a \choose i}k^{ip}\)中抽取\(k^{cp}\)，从\(\sum_{j=0}^b {b \choose j}k^{j}\)中抽取\(k^d\)
得到公式：
\[{n \choose m} (\mod p)=\\ \]
\[{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor \choose \lfloor \frac{m}{p} \rfloor } {n \mod p \choose m \mod p} \]
即卢卡斯定理