【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

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传送门：洛谷:p4777

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中国剩余定理(CRT)

$$\begin{cases} x &\equiv& a_1 \pmod {p_1} \\ x &\equiv& a_2 \pmod {p_2} \\ &\vdots& \\ x &\equiv& a_n \pmod {p_n} \\ \end{cases}$$
给定 $a_1,a_2,...,a_n,p_1,p_2,..,p_n$( $p_i$分别为互不相同的素数)，求解满足上式的最小非负整数解 $x$。
设 $M=\prod \limits_{i=1} ^n p_i$， $M_i=\dfrac M {p_i}$， $t_i\equiv {M_i}^{-1}\pmod {p_i}$
显然， $x\equiv \sum \limits_{i=1}^n a_iM_it_i\pmod M$

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扩展中国剩余定理(EXCRT)

$$\begin{cases} x &\equiv & a_1\pmod {b_1}\\ x &\equiv & a_2\pmod {b_2}\\ &\vdots& \\ x &\equiv & a_n\pmod {b_n}\\ \end{cases}$$
要求同上，唯一不同的是 $b_1,b_2,...,b_n$为任意正整数，不要求为素数，也不要求互质。
采用增量法：
设当前已求出满足前 $k$项的答案 $x_k\pmod {mod_k}$， $mod_k=lcm(b_1,b_2,...,b_k)$。
必然存在整数 $g$，使得:
$x_k+g\times mod_k\equiv x_{k+1} \pmod {mod_{k+1}}$
也即:
$x_k+g\times mod_k\equiv a_{k+1} \pmod {b_{k+1}}$
故：
$g\times mod_{k}+g'\times b_{k+1}=a_{k+1}-x_k$
变成了扩展欧几里得的形式。
先求出 $f\times mod_k+f'\times b_{k+1}=gcd(mod_k,b_{k+1})$
则 $g'=f'\times \dfrac{a_{k+1}-x_k}{gcd(mod_k,b_{k+1})}$(若 $a_{k+1}-x_k$不能被 $gcd(mod_k,b_{k+1})$整除，则无解)
不断增量即可。

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代码

这里的$a,b$的定义可以参考洛谷题面。

#include<bits/stdc++.h>
#define RI register
#define gc getchar
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
int n;
ll a,b,ans,mod,Mod,res,tp,x,y,k;

char c;
template<class T>
inline void rd(T &x)
{
    c=gc();x=0;
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);c=gc()) x=x*10+(c^48);
}

inline ll gcd(ll A,ll B){return (!B)?A:gcd(B,A%B);}

inline void exgcd(ll A,ll B)
{
    if(!B){x=1;y=0;return;}
    exgcd(B,A%B);
    k=x;x=y;y=k-y*(A/B);
}

inline ll mul(ll x,ll y,ll md)//O(1)快速乘
{ll d=floor(1.0*x/md*y+1e-8);ll re=x*y-d*md;return re<0?re+md:re;}

int main(){
    rd(n);
    rd(mod);rd(ans);
    for(RI int i=2;i<=n;++i){
        rd(a);rd(b);tp=gcd(mod,a);//先求出gcd会快一些
        if(ans%a==b){mod=mod/tp*a;continue;}
        res=((b-ans)%a+a)%a;res/=tp;Mod=a/tp;
        exgcd(Mod,mod/tp);
        y=(mul(y,res,Mod)+Mod)%Mod;
        Mod*=mod;ans=(ans+mul(y,mod,Mod))%Mod;
        mod=Mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}