最近，wyb小朋友老是不好好搞他的数据结构，跑过来问我数学，没办法，所以我决定每天发一篇数论的博客，骗骗流量（以后wyb有不会的就看我博客，哈哈哈）先从基础的更起吧。

逆元：

我第一次接触逆元是在离散数学的代数系统中，对于一种运算满足 $(a * a^{-1} = e)\Lambda(a^{-1} * a = e)$ （ $e$ 为该运算的单位）则称 $a^{-1}$ 是 $a$ 的逆元。

逆元在算法中的运用：

逆元在算法中主要是为了整数的除法取模，显然除法是不能直接取模的。但是我们可以转化一下，因为乘法是可以直接取模的。

$a\ /\ b\ mod \ c\ = a\ *\ b^{-1}\ mod \ c$ 所以我们的问题直接转变成了求b的逆元。

逆元的求法：(此处的逆元是指的模运算的逆元)

1.费马小定理：

$a^{p-1}\ =\ 1(mod\ p)\Leftrightarrow a\ *\ a^{p-2}\ =\ 1(mod\ p)$ （此处的p为素数）

要证明费马小定理，首先我们需要证明对于任意的整数a，b，c有一个素数p满足 $gcd(c,p)\ =\ 1$ ，使得 $ac\ =\ bc(mod\ p)\Rightarrow a\equiv b(mod\ p)$

$\small ac=bc(mod\ p)\Leftrightarrow(a\ mod\ p)*(c\ mod\ p)\equiv(b\ mod\ p)*(c\ mod\ p)\Leftrightarrow a\equiv b(mod\ p)$

对p取模的所有数字为 $\small [0,p-1]$ ，又因为0乘任何数等于0所以剔除0，令a为任意正整数都有 $\prod_{i=1}^{p-1}ia=!(p-1)(mod\ p)\Leftrightarrow !(p-1)a^{p-1}=!(p-1)(mod\ p)\Leftrightarrow a^{p-1}=1(mod\ p)$ 原式得证

如果p为小素数我们选择直接暴力，时间复杂度为 $O(n)$ ：

int Fermat_inverse(int a,int mod)
{
    int res = 1;
    for(int i = 1;i < mod - 1;++i) res *= a;
    return res; 
}

如果p为大素数，我们可以用快速幂求解，时间复杂度为 $O(logn)$ ：

long long fast_pow_mod(long long a,long long b,long long mod)
{
    long long res = 1;
    while(b){
        if(b & 1) res = (res * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
long long Fermat_inverse(long long a,long long mod)
{
    return fast_pow_mod(a,mod - 2,mod); 
}

2.扩展欧几里得：

对于任意的两个正整数（负整数将负号提至系数）a,b必然存在两个整数x，y使得 $ax\ +\ by\ =\ gcd(a,b)$

懒得再写一篇

逆元详解（加扩展欧几里得和费马小定理的证明）

逆元：

逆元在算法中的运用：

逆元的求法：(此处的逆元是指的模运算的逆元)

1.费马小定理：

2.扩展欧几里得：

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