费马小定理和欧拉定理及其证明

费马小定理: 若p是素数, a是正整数且不能被p整除, 则 ${ a }^{ p-1 }\quad =\quad 1(mod\quad p)$
费马小定理的扩展: ${ a }^{ p }\quad =\quad a(mod\quad p)$
欧拉定理: 对任意互素的a和n,设$\phi (n)$为小于n且与n互素的正整数的个数,有${ a }^{ \phi (n) }\quad =\quad 1(mod\quad n)$
欧拉定理的扩展: ${ a }^{ \phi (n)+1 }\quad =\quad a(mod\quad n)$
证明:

首先, 给定一个小于p的正整数的集合x{1,...,p-1}, 明显p与集合中所有的元素互质

用a乘以集合中所有的元素并对p取模, 那么我们可以得到集合X{a%p, 2a%p, 3a%p, ... , (p-1)a%p}

明显X中所有的元素都小于p并且由于a不能整除p, 所以X中所有的元素都不等于0并且各个元素都不相等

这说明X和x的构成相同, 只是元素的顺序不同

所以将两个集合的元素分别相乘

(p-1)! mod p = a^(p-1) * (p-1)! mod p

两边约去(p-1)!即可得到费马小定理

如果两边再同时乘以a的话就可以得到后面的扩展定理

欧拉定理与费马定理的区别

二者很像, 欧拉定理没有要求n必须是素数, 所以它让$\phi (n)$来代替了集合x的作用, 因为二者的元素都是与n(或者说p)互素的

接下来就是和费马定理相似的证明过程