讨论幂平均不等式我们先了解一个幂函数
| 性质 \\ 函数 y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) |
| 值域 | (0 , +∞) f(x) ＞ 0 |
| 一阶导数 | (q/p)*x^( (q-p)/p ) |
| 二阶导数 | ( (q² - pq)/p² )*x^( (q - 2p)/p ) |
| p＞q＞0 | 图像性质 凸函数 |
| 0＞p＞q | 图像性质 凹函数 |
| p＞0 , q＜0 | 图像性质 凹函数 |
利用函数 y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) 的性质结合Jensen不
等式来证明幂平均不等式。
回顾Jensen不等式：
Ai ≥ 0时 且 A1 + A2 + ...... + An = 1
若函数f(x)是凹函数则有：
f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≤ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1
若函数f(x)是凸函数则有：
f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≥ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1
等号成立条件 X1 = X2 = ...... = Xn
下面根据Jensen不等式分情况讨论 函数y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)
当 0＞p＞q 与 p＞0 , q＜0时 函数y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)为凹函数
设Xi , Ci ＞ 0
即：[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(q/p)
≤ (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn)
不等式两边同时 1/q 次方
[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/p)
≥ [ (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/q)
当 p＞q＞0时 函数y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)为凸函数
即：[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(q/p)
≥ (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn)
两边同时1/q次方
[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/p)
≥ [ (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/q)
综上考虑若p＞q总有：
[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/p)
≥ [ (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/q)
等号成立条件X1 = X2 = ...... =Xn
幂平均不等式加权形式得证
对于一般形式的证明只需要C1 = C2 = ...... = Cn = 1即可
既有：
[ (X1^p + X2^p + ...... + Xn^p) / n]^(1/p)
≥ [ (X1^q + X2^q + ...... + Xn^q) / n ]^(1/q)
以上就是对幂平均不等式一般形式和加权形式的论证