浮点数的范围和精度问题（从原理到结论）

浮点数的范围和精度问题（float和double的比较）

　　今天遇到一道C++题，非常简单，就是比较两个浮点数是否相等。我的第一思路就是输入两个double类型的变量a,b，看a-b的绝对值是否小于$1e^{-8}$，是则相等。

　　但是！！！问题并没有到这里结束，我去瞄了一眼其他人的解法，发现居然可以输入float类型的变量，然后直接用逻辑判断==就可以了，然后在线测评也通过了，也是非常神奇。于是对float和double类型的范围和精度产生了兴趣，为啥误差精度为$1e^{-8}$时float类型的数就能直接判断，而double却不行呢？
　　到网上搜罗到了一些解答，本文对其进行了归纳整理。

1. 关于浮点数的精度与取值范围的问题
2. float的范围和有效数字怎么算出来的？
3. float与double的范围和精度
4. float和double的精度
5. 维基百科　IEEE 754标准（二进制浮点数算术标准）

　　 这首先得从浮点数在计算机中的表示和存储方式说起。
　　
　　 根据IEEE标准，浮点数是通过科学计数法来存储的，比如120.5用十进制的科学计数法来表示就是$1.205\times10^{2}$，但是计算机中所有数据都是用二进制存储的，所以得先转换为二进制数，即$1.1110001\times2^{6}$。

　　
　　 浮点数在计算机中的存储分为三个部分：
　　 1. 符号位（sign）：float和double符号位均为1位，0代表正数，1代表负数
　　 2. 指数位（exponent）：存储科学计数法中的指数部分，采用移位存储
　　 3. 尾数位（fraction）：存储科学计数法中的尾数部分

　　根据IEEE 754标准，单精度float类型使用32比特存储，其中1位表示符号，8位表示指数，23位表示尾数；双精度double类型使用64比特存储，1位符号位，11位指数位，52位尾数位。
　　然后再来讲讲移位存储。拿float来举例，内存中使用32位来存储float浮点数，其中第1位表示浮点数正负，第2~9位表示指数，后23位表示指数。表示指数的8位二进制虽然连续，但并不在同一字节中（实际上是由第一字节的后7位和第二字节的第1位组成），然后这8位指数位的第1位也是用来表示正负……然后我就没怎么弄懂了，欢迎大家赐教。总之如果按照移位存储，指数值最后需要加上偏移值127就对了。
　　

浮点数的范围

　　后来发现在头文件float.h里其实已经解释的很清楚了（所以说没事多翻翻源码总是没错的）：

float能够表示的最大值为 $3.40\times10^{38}$，最小区分精度约为 $1.19\times10^{-7}$（这一点和最开始那道题目有点矛盾，等我尝试几组数据之后再补充）。

float能够表示的最大值为 $1.80\times10^{308}$，最小区分精度约为 $2.22\times10^{-16}$。

不过这宏定义的最大最小值感觉并不是我们所认为的“不溢出内存的情况下所能表示的最大数字”，我现在也说不清，留个问题之后慢慢琢磨好了。

浮点数的精度

　　这个解释起来轻松一点，精度这里指的是最大有效数字的位数，即只需要考虑尾数部分就可以啦。
　　对于float类型，尾数部分是23，转换成10进制的精度，$2^{23}=10^x$ –> $x=23log2\approx6.92$，所以23位2进制最多只能表示6位10进制数，这里就是头文件中FLT_DIG=6的来由。
　　但还有一种说法，也是网上的主流说法，二进制小数点的第一位永远都是1，可以省略，实际上二进制的精度为24，所以10进制的精度为7。