1、神经网络model
先介绍个三层的神经网络，如下图所示
输入层（input layer）有三个units（为补上的bias，通常设为
1）
表示第
j层的第i个激励，也称为为单元unit
为第
j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重
所以可以得到：
隐含层：
输出层 其中，S型函数
，也称为激励函数
可以看出 为3x4的矩阵，
为1x4的矩阵
==》
j+1的单元数x（j层的单元数+1）
2、代价函数
假设最后输出的，即代表输出层有K个单元
其中，
代表第
i个单元输出
与逻辑回归的代价函数差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）
3、正则化
L-->所有层的个数，-->第
l层unit的个数
正则化后的代价函数为
共有
L-1层，然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)
4、反向传播BP
上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度
BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度
假设4层的神经网络,记为-->
l层第j个单元的误差
《===》
（向量化）
没有，因为对于输入没有误差
因为S型函数的导数为：
，所以上面的
和
可以在前向传播中计算出来
反向传播计算梯度的过程为：
（
是大写的
）
for i=1-m:
-
-正向传播计算（l=2,3,4...L）
-反向计算、
...
；
-
-
最后，即得到代价函数的梯度。
5、BP可以求梯度的原因
实际是利用了链式求导法则
因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。 
求误差更详细的推导过程： 
6、梯度检查
检查利用BP求的梯度是否正确，
利用导数的定义验证：
求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近
验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了。
7、权重的随机初始化
神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。
所以应该初始化为接近0的数。