1等于0.循环9吗？

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最近工作不是很忙，空闲之余认真阅 读了《数学史概论（第二版）》一书。作者 从古代数学的起源直到现代数学娓娓而谈 ，每一段重要数学史都无一不谈。合上书本，脑海里对数学的历史来龙去脉，以及每段时期数学发展的动力，矛盾和杰出的数学家都一一了解 。尽管有些数学知识我一知半解，但此书仍令我兴趣盎然 。微积分和第二次数学危机，是我最感兴趣的部分之一。何谓无穷小，当时很多数学家都不能作出完美的解决，以致这后来被一位哲学家所诟病。整整经过二百多年后，数学家才对无穷小作出完美的解释，微积分这一数学大厦才完美 竣 工。无穷小，是微积分的基础，这令我想起了小学课本上的一个难度很大的数学问题，那就是：

1 与0.循环9相等吗？

我问过好几个对数学感兴趣的朋友和同事，他们给我的答案令我感到非常惊奇，一个很简单的问题，为什么想不明白呢？遂有此文之愿。

乍一看去，和你仔细想想甚至深思熟虑后，心里的答案是什么，相等，还是不相等。你亦可 google或baidu一下，网上也不少人在谈论此问题，但众说纷纭。本文通过多种方法来解释真实的答案。

从第二次数学危机谈起

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我们高中课本上就谈到极限，其中有个公式，我想大家都不会忘记，如下：

$$lim_{n->\infty} \frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \cdots + \frac 1 {2^n} = 1$$

你相信上述式子成立吗？ 说真的，我怎么也不能相信上式真的会成立。左式的结果是越来越接近1，但明显是小于1的，怎么会相等呢？假如真的是相等，也要算到n是无大穷的时候吧，那个时候已是沧海桑田了，我怎么能算得到，况且是接近，不是相等。 我也在另一本书看到另一个有趣的话题，那就是：

自然数N 有可无究多个的，是可数的。

我对自然数是可数集，这一定义是理解，但这本书更牛，它说到，是因为计算机在 1 秒内可以将所有自然数数一 遍。你相信吗？ 我绝不相信，有这样神速的机器。书上介绍了它的方法，用0.5秒的时间来数 1, 0.25秒的时间来数2, 依此类推，如果数n的时间为t秒，那么数n+1的时间花t/2秒即可。这样，1秒种就可以数完了。

我觉得很荒唐，计算机数数怎么越来越快呢？从物理特性上说，根本不可能存在这么快的机器。你还不说，作者马上写道，假如有这么快的机器，你能1秒钟内数完所有实数吗？如果有，请安排你的策略。你可别说，实数是不可数的，这是根本不可能办到的事情。

从上面的两个小问题，我们认识到了一个我们难于理解的问题，无究大。无究大是多大，我们没有认真想过，只是觉得非常大，数不清。我们竭尽词澡，都不能准确表达无究大的概念。我们平时接触的事物都是有限的，换句话说，都是有尽头的。

无尽的路，我们能走完吗？ – 不能
在自然数N的基础上加一个0形成一个新的自然数集N1，这两个集合哪个的元素个数多？ – 当然是N1拉，它比N多了个0

自然数是无穷的，但我们在直觉中，往往会将之想象成有穷的，无办法，谁叫我们生活在一个有穷的 世界中。因为有穷世界里，比较两个东西很容易，把一头对齐，另一头，谁高就谁大，比较两个人谁高就使用此方法。把 N和N1一比，以无穷大为基端，很容易发现N1的1和N的1对齐，而N1多了一个0，显然是N1个数多。这就是我们的直觉。

正因为我们的直觉，无穷大是难以理解的，也是难以执行的（如数数，数到无穷大），就出现了第二次数学危机。下面是当时出现的两个悖论：

运动不存在

第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路…… 如此下 去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。

跑得很快的阿希里（我们假设它是只兔子）赶不上在他前面的乌龟

第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。这两 个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。

第一个问题，假设运行的路程为S ，那么运动者必先走 $\frac S 2$ 的路程；在剩下的$\frac S 2$ 中，又必须先走$\frac S 4$路程，$\cdots$，这样运行者必须走无限多次，根据我们对无限大的理解，这是根本不可能走完的。但在生活中，却又是很容易了，如几十米的路程，一分钟内就走完了，怎会走不完呢？这就是在数学上在无限的，不可能完成的，而在真实世界是可能完成的，相矛盾。

第二个更有趣，兔子竟然追上不乌龟，不管它有多快。 为了更好分析第二个问题，我们用一个实例来分析。假设开始赛跑时，乌龟在兔子前9m ，兔子的速度为 10m/s ，而乌龟的速度为 1m/s 。于是有：

1) 兔子第一次追上乌龟出发的地方，所花的时间为, $t_1 = \frac 9 {10}$, 而在 t1 时间内，乌龟跑了$s_1$（$t_1$ 乘以乌龟的速度），即：$s1 = t_1 * 1m/s = \frac 9 {10}$

2） 兔子要第二次追上乌龟上述的出发点，即要追上$s_1$ 路程，所花的时间 $t_2 = s_1/ 兔子的速度 = (9/10) / 10 = 9/100$。而乌龟在 t2 时间内又跑了$s_2= t_2* 乌龟的速度 = (9/100)*1 = \frac 9 {100}$

3） 依此类推，兔子第三次追上乌龟的起跑点，所需时间为$t_3 = \frac 9 {100}$.
…) 无穷次的追赶，免子真的能追上乌龟吗？

假设真的能追上的话，那兔子要花多少时间呢？ 很简单，只需把$t_1$, $t_2$, $t_3$, … 一直加到无穷大项就可以了，即：

$t_1 + t_2 + t_3 + …+t_n + … = \frac 9 {10} + \frac 9 {100} + … + \frac 9 {10^n} + … = 0.9 + 0.09 + 0.009 + … + \frac 9 {10^n} + … = 0.999…$

请注意，上式不是一个极限，而是一个级数。它的值是0.999999999999…( 无限个 9) 。 1/3 等于多小， 0. 循环 3 吧，因为不能整除，结果有无穷个 3 ，为了表示这一结果，使用 0. 循环 3 来表示。循环之意，表示后面有无穷多个重复。依照此定义，那么 0.999…..( 无穷多个 9) 等于 0. 循环 9 。所以免子能追上乌龟的话，它花的时间是 0. 循环 9 ，这一时间量显然不大于 1 ，所在兔子还是很快就能追上乌龟的。那 0. 循环 9 这一值到底是多少呢？我们用高中数学知识算一算就可以了：

0.999……….其实就是 $a_0 = 0.9$, 公比为 q = 0.1 等比数列$a_n$，通项求和后，对 $S_n$ 求极限的结果。所以我在上面说， 0.9999……….. 不是一个极限，而一个级数，它的值等于 $S_n$ 的极限。 $S_n$ 的极限显然是 1 。 难度就是说 0. 循环9 等于1 吗？

很多人都不敢相信，0. 循环 9 等于 1 ，因为是从极限角度出来的，而极限是无限接近的，而我们又看不到当 n 值取到无穷大的那一刻，它的值到底是不是真的就是这个极限。看来，我们还是绕不过无限大的可怕之处。我们用小数的知识算一算，兔子到底要花多少时间才能追上乌龟。假设兔子追上乌龟所花的时间为 x ，那么在这 x 时间内免子跑了 10x ，而乌龟跑了 1x = x ，根题意，子兔子追上乌龟时，肯定比乌龟多跑了 9 米，故有 10x - x = 9 ，于是得到 x = 1 ( 秒）。

从无限可分的角度来说，我们得到的结果是0. 循环 9 ；而从整体分析来说，我们得到的结果是 1 。 那么我们还有什么道理说 0. 循环9 不等于 1 呢？

从有理数的定义出发

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记数的历史，几乎与人类历史一样悠久。人们先是使用自然数，或整数来记录，或表达物体的个数。经过一段时间后，人们认识到只使用整数是不能很好处理身边的事情，如猎物的重量，物体的长度等度量。人们开始使用小数，即有理数这一概念。后来在第一次数学危机中，人们发现发无理数，即存在无限不循的小数，如根号2 。从自然数，到有理数，再到包括无理数在内的实数。每一次数集的扩展，都加入了新的元素。从自然数到有理数，加入了小数部分。而到实数时，加入了无理数部分。而原来的数集在新的数集内，都有一一对应的元素。例如，原来的自然数 1 ，在新的有理数数集内，它的对应物是 1.0 这个小数。有理数还有一个定义是无限循环小数，从这层面上说，所有的有理数都可以表示成一个无限循环小数。 1/3 是有理数，它的无限循环小数是 0. 循环 3 。 1.0 呢？ 显示是 1. 循环 0 了。 这既满足循环，又有无限之意。其实 1.0 表示成无限循环小数不是这样的，我们可以对比一下：

1/3 = 0.循环 3, 但不等于 0.333, 也不等于 0.33333333333333333333, 无论后面写多少个 3 都不会等于 . 循环 3 ，必须有无限多个才会相等。

而1.0 = 1/1 = 1. 循环 0 ，等于 1.000, 了等于 1.000000000000000000, 无论后面写多少个 0 都等于。

与1/3 的无限循环小数写法相比， 1.0 的写法显得理由不充分。 1.0 写成的无限循环小数后面的 0 不必是无限多个的，有限多个，甚至只是 1 个都是与 1.0 相等。这违背了无限循环之意。

别急，1.0 是有理数，它一定可以用一个无限循环小数表示的，而这个数正好是 0. 循环 9 。不相信么？我可以帮你算一算到底是不是，先算一算 1/3 的无限循环小数吧。

在1 除以 3 的除法计算过程中，商 3 后，总是余 1 ，然后商的结果是小数点后，一直是无穷无尽的 3 ，故 1/3 的结果是 0. 循环 3 ，这是一个名正言顺的无限循环小数，因为它不是编造出来，而是除不尽，而除法竖式计算出来的。但 1 = 1/1 = 0. 循环 9 就显得非常不正常了，因为它不是用除法竖式计算出来的，故名不正言不顺。但所有的有理数都可以表示成无限循环小数，有什么道理 1 表示不成 0. 循环 9 呢？，各位看官请看：

在1/1的除法竖式中，第一次试商是 0 ，而非我们平时使用的 1 。我觉得这是可以的，也是正常的，因为此时余数不超过除数的 10 倍，在后面的除法竖式步骤中会将第一次试商的差值补上来。这样，我们终于名正言顺地计算出来了 1 = 1/1 = 0. 循环 9 。其实按此方法，所有有限小数，都可以转化为以循环 9 结尾的无限循环小数。如：

2 = 1.循环 9
0.0334 = 0.333循环 9.

依此类推。

数学公式的魔术

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其实我们可以单单从任何一个无限循环小数出发，来推出1 = 0. 循环 9.

1) 我们已承认： 1/3 = 0. 循环 3 ，然后将等式左右两边乘以 3 ，就得到的问题的答案，即 1 = 0. 循环 9 。

2) 令 x = 0. 循环 9 ，那么 10 x= 9. 循环 9 ，然后两式左右分别相减，得到： 9x = 9 ，推出 x = 1 。

神奇吧，无论你多么不想承认1 与 0. 循环 9 相等的事实，但所有的证据都告诉你，它们是相等的。我们想不到，甚至想不通，是因为我们的世界是有限的，而不是无限的。所以我们只能用数学的条文去推导它他们否相等，而无穷个 9 是我们永远也算不完是不是等于 1 的。

数学家是伟大的，他们创造了极限这一运算来表示我们无法理解的无限次运算的结果，这些结果当中不排除它的值是无限大的，而很多时候是一个常量，即固定值。在极限的述语里，我们总是用无限趋近于无穷大，它的值才会等于。而0. 循 9 不是无限趋近于，而是已经趋近了。无穷个数相加，不就是“无限趋近”的结果吗？，即极限的结果。

不承认相等后，所不能回答的问题

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1） 1 是一个有理数， 0. 循环 9 也是一个有理数，如果不相等， 那么 1 - 0. 循环 9 也是一个有理数，由于所有的有理数都可以表示成有限小数，或无限循环小数，那么你能表示出 1 - 0. 循环 9 的结果吗？ 如果不能，那么则说明两者是相等的。
2） 如果不承认1 = 0. 循环 9 ，也即不承认无穷级数的结果，也是认为无限次计算结果是不可能计算出来的。那么 1/3 = 0. 循环 3 也是不成立的，你如何保证在 1/3 的除法竖式中，小数点后的商中每一位都是 3 。因为你不承认无穷的概念，你必须要写完所有的商才能断定每一位是 3 ，问题是你能写完商的每一位吗？

总结

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1 是否等于 0. 循环 9 ，这一问题源自于对极限的理解。数学家自从完成实数系统化后，就已经给出了明确相等的答案。本文从多方面论证两者是相等的，本人并非数学专业，只能从我的理解对二者作出诠释。但两者相等却是不容置疑的。我在网上见到很多大学教授对此问题仍然作出错误的解释，实在可笑。这足以说明我们的数学素养还是有待普及。

有更好的解释，或更好的资料，还请各位朋友多多介绍，谢谢！