在开始之前先跟大家介绍一位数学爱好者卞爱华写的博客万物皆数,里面涉及大量的数学知识,有兴趣的朋友可以移步过去领略数学之美。
时间过得真快,我在六年前这个时间点,写过一篇数学方面的文章1等于0.循环9吗?。前段时间找到万物皆数之后,我又翻阅了一些有理数与实数的理论,加上大家对这个话题也很感兴趣,于是趁有时间,重写一下这个话题。
关于0.循环9
0.循环9是小学的表达方式,它的真实身份是
没有错,这是一个级数。
那么它的值与1是否相等呢?直觉看来,它明显是加不到1的,所以它比1小。但真的是这样吗?
如何证明相等呢
我们知道实数是具有稠密性质,也即两个不相等的实数x和y之间,一定存在着一个中间实数z。用数学语言表达就是:
对于任何实数x和y,假定
x<y
那么一定存在实数z,满足
x<z<y
下面利用这一性质来证明。
证明过程
假设
∑n=1∞910n≠1
很明显,左边不可能大于右边,所以两者只能是小于关系,即
∑n=1∞910n<1
根据实数的稠密性,一定存在一个实数介于两者之者,即
∑n=1∞910n<x<1 由
x<1 ,则有1−x<1 ,根据阿基米德公理,一定可以找到一个m,使得10m(1−x)>1 ,那么有:
x<1−110m
于是有
∑n=1∞910n<1−110m<1
接下只关心不等式的左边两项,即
∑n=1∞910n<1−110m 等价移项
∑n=1∞910n+110m<1
接下来,要对级数做拆分
∑n=1m910n+110m+∑n=m+1∞910n<1
左边前两项加起来刚好等于1,则有
1+∑n=m+1∞910n<1
上述不等式明显是矛盾,所以题设不成立, 故证毕
∑n=1∞910n=1
证明背后的朴素道理
为什么两者是相等的呢? 那么因为这两个数是无限接近,以致于永远找不到两者之间的空隙(也即两数的差值为0)。
不管你找一个多么接近1的值S,但只要比1小,那总是能证明
其实这就是极限的定义了,如果设数列
用优美的数学语言来表达就是:
如果
limn→∞an=S
那么对于任意正数ε (不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,均有以下不等式成立
|an−S|<ε
这里的