一、二次不等式
\(\fbox{例1}\) (数字系数的二次不等式)
解关于\(x\)的不等式\(-x^2+4x-3 \ge 0\)
\(\fbox{例2}\) (含参数的二次不等式，一动根一静根)
解关于\(x\)的不等式\((x-2)[x-(3a+1)]<0\)
\(\fbox{例3}\) (含参数的二次不等式，两动根)
解关于\(x\)的不等式\(x^2-\cfrac{a}{2}x-\cfrac{a^2}{2}<0\)
分析：将原不等式等价转化为\((x-a)(x+\cfrac{a}{2})<0\)，令\((x-a)(x+\cfrac{a}{2})=0\)，则方程的两个根为\(x=-\cfrac{a}{2}\)和\(x=a\)，下来根据这两个动根的大小分类讨论
当\(-\cfrac{a}{2}<a\)时，即\(a>0\)时，不等式的解集为\((-\cfrac{a}{2}，a)\)；
当\(-\cfrac{a}{2}=a\)时，即\(a=0\)时，不等式的解集为\(\varnothing\)；
当\(-\cfrac{a}{2}>a\)时，即\(a<0\)时，不等式的解集为\((a，-\cfrac{a}{2})\)；
\(\fbox{例4}\) (含参数的二次不等式，两动根)
解关于\(x\)的不等式\(x^2-(a^2+a)x+a^3\leq 0\)
分析：将原不等式等价转化为\((x-a^2)(x-a)\leq 0\)，其对应方程的两个根为\(x=a^2\)和\(x=a\)，分类讨论如下：
\(1^{\circ}\) 当\(a^2>a\)，即\(a<0\)或\(a>1\)时，解集为\([a，a^2]\)；
\(2^{\circ}\) 当\(a^2=a\)，即\(a=0\)或\(a=1\)时，解集为\(\{0，1\}\)；
\(3^{\circ}\) 当\(a^2<a\)，即\(0<a<1\)时，解集为\([a^2，a]\)；
综上所述，当\(a<0\)或\(a>1\)时，解集为\([a，a^2]\)；当\(a=0\)或\(a=1\)时，解集为\(\{0，1\}\)；当\(0<a<1\)时，解集为\([a^2，a]\)；
\(\fbox{例5}\) (含参数的二次不等式，两动根)
解关于\(x\)的不等式\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0\).
分析：
当\(a=1\)时，
当\(a\neq 1\)时，
二、能转化为含有参数的二次不等式
设函数\(f(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+aln(1+x)\)．
（Ⅰ）讨论\(f(x)\)的单调性；
【分析】（Ⅰ）利用导数转化为求解含有参数a的不等式，给导函数的分子配方就能找到分类讨论的标准。
【解答】（Ⅰ）导数法研究单调性，先求出定义域\((-1，+\infty)\)，
\(f'(x)=x+\cfrac{a}{x+1}=\cfrac{x(x+1)+a}{x+1}\)
\(=\cfrac{x^2+x+a}{x+1}\)
\(=\cfrac{(x+\cfrac{1}{2})^2+a-\cfrac{1}{4}}{x+1}\)，
①当\(a≥\cfrac{1}{4}\)时，\(f'(x)≥0\)恒成立，且当\(a=\cfrac{1}{4}\)时仅仅在\(x=-\cfrac{1}{2}\)处取到等号，故函数\(f(x)\)在\((-1，+∞)\)上单调递增；
②当\(a<\cfrac{1}{4}\)时，令\(x^2+x+a=0\)，得到\(x=\cfrac{-1±\sqrt{1-4a}}{2}\)，接下来将其中的小根和-1作比较，
当\(-1<\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\)时，即\(0<a<\cfrac{1}{4}\)时，
\(x\in (-1，\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2})\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
\(x\in(\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，
\(x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
当\(-1=\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\)时，即\(a=0\)时，\(x\in (-1，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，\(x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
当\(-1>\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\)时，即\(a<0\)时，\(x\in(-1，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，\(x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
综上所述，当\(a≥\cfrac{1}{4}\)时，函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((-1，+∞)\)，无单调递减区间；
当\(0<a<\cfrac{1}{4}\)时，单调递增区间为\((-1，\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2})\)和\((\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)，单调递减区间为\((\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)；
当\(a≤0\)时，单调递减区间为\((-1，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)，单调递增区间为\((\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)；
三、关于二次不等式的恒成立问题
角度一 形如\(f(x)\ge 0(f(x)\leq 0)(x\in R)\)型的不等式确定参数范围
\(\fbox{例3}\)(2017铜川模拟)不等式\(a^2+8b^2\ge \lambda b(a+b)\)对于任意的\(a，b\in R\)恒成立，则实数\(\lambda\)的取值范围为_____________。
法1：(将\(b\)和\(\lambda\)看做系数)将不等式转化为\(a^2-\lambda ba+8b^2-\lambda b^2\ge 0\)对任意的\(a\in R\)恒成立，则\(\Delta =b^2\lambda^2-4(8b^2-\lambda b^2)=b^2(\lambda^2+4\lambda-32)\leq 0\)，解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。
法2：当\(b=0\)时，即\(a^2\ge 0\)恒成立，\(\lambda\in R\)；
当\(b\neq 0\)时，原不等式等价于\((\cfrac{a}{b})^2+8\ge \lambda (\cfrac{a}{b})+\lambda\)，令\(\cfrac{a}{b}=t\in R\)，即\(t^2-\lambda t+8-\lambda\ge 0\)对任意的\(t\in R\)恒成立，则\(\Delta =(\lambda)^2-4(8-\lambda)\leq 0\)，解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。
综上所述(两种情况取交集)，实数\(\lambda\)的取值范围为\(-8\leq \lambda \leq 4\)。
角度二 形如\(f(x)\ge 0(x\in[a，b])\)型的不等式确定参数范围
\(\fbox{例4}\) 设函数\(f(x)=mx^2-mx-x(m\neq 0)\)，若对于\(x\in [1，3]\)，\(f(x)<-m+5\)恒成立，求\(m\)的取值范围。
法1：利用二次函数求解，要使\(f(x)<-m+5\)恒成立，即\(mx^2-mx+m-6<0\)，即\(m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6<0\)在\(x\in[1,3]\)上恒成立，令\(g(x)=m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6,x\in [1,3]\)，
当\(m>0\)时，\(g(x)\)在\([1,3]\)上是增函数，所以\(g(x)_{max}=g(3)=7m-6<0\), 解得\(m<\cfrac{6}{7}\)，则有\(0<m<\cfrac{6}{7}\)；
当\(m<0\)时，\(g(x)\)在\([1,3]\)上是减函数，所以\(g(x)_{max}=g(1)=m-6<0\), 解得\(m<6\)，则有\(m<0\)；
综上所述，\(m\)的取值范围是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)。
法2：分类参数法，因为\(x^2-x+1>0\)，由\(f(x)<-m+5\)可得\(m(x^2-x+1)-6<0\)，故有\(m<\cfrac{6}{x^2-x+1}\)恒成立，
又因为函数\(y=\cfrac{6}{x^2-x+1}=\cfrac{6}{(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}}\)在区间\([1,3]\)上的最小值为\(\cfrac{6}{7}\),故只需\(m<\cfrac{6}{7}\)即可，
又因为\(m\neq 0\)，所以\(m\)的取值范围是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)。
角度三 形如\(f(x)\ge 0(参数m\in[a，b])\)型的不等式确定参数范围
\(\fbox{例5}\)已知\(a\in[-1,1]\)时不等式\(x^2+(a-4)x+4-2a>0\)恒成立，则\(x\)的取值范围是多少？
分析：主辅元换位，把不等式的左端看成关于\(a\)的一次函数，记为\(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4\)，则由\(f(a)>0\)对于任意的\(a\in[-1,1]\)恒成立，只需\(\begin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0\end{cases}\)即可，即\(\begin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0\end{cases}\)，解得\(x<1\)或\(x>3\)，则\(x\)的取值范围是\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\).
四、对应练习：
1、(2017新余模拟)不等式\(x^2-2x+5\ge a^2-3a\)对任意实数\(x\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是
分析：令\(a^2-3a=A\)，\(x^2-2x+5=f(x)\)，则转化为\(f(x)\ge A\)对任意实数恒成立，即需要求解\(f(x)_{min}\);
2、已知不等式\(x^2-2x+a>0\)对任意实数\(x\in[2,3]\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是___________.
分析：分离参数得到\(a>-x^2+2x\)对任意实数\(x\in[2,3]\)恒成立，即需要求函数\(f(x)=-x^2+2x,x\in[2,3]\)的\(f(x)_{max}\),\(f(x)=-(x-1)^2+1,x\in[2,3]\),故\(f(x)_{max}=f(2)=0\)，则得到\(a>0\).
3、已知函数\(f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(a\in R,b\in R)\),对任意实数\(x\)都有\(f(1-x)=f(1+x)\)成立，若当\(x\in[-1,1]\)时，\(f(x)>0\)恒成立，则\(b\)的取值范围是_____________.
分析：先由\(f(1-x)=f(1+x)\)得到，二次函数的对称轴\(x=-\cfrac{a}{-2}=1\)，解得\(a=2\)，
故题目转化为\(-x^2+2x+b^2-b+1>0\)对任意\(x\in [-1,1]\)恒成立，
用整体法分离参数，得到\(b^2-b>x^2-2x-1\)对任意\(x\in[-1,1]\)恒成立。
令\(g(x)=x^2-2x-1，x\in[-1,1]\)，需要求函数\(g(x)_{max}\)；
\(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，x\in[-1，1]\)，故\(g(x)\)在区间\([-1，1]\)上单调递减，则\(g(x)_{max}=g(-1)=2\)，
故\(b^2-b>2\)，解得\(b<-1\)或\(b>2\)。