「Codeforces 1006F」Xor-Paths - 双向bfs

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原文出处：https://hyp1231.github.io/2018/07/17/20180717-cf1006f/

题意

给定 $n \times m$ 的矩阵，以及一个整数 $k$。
定义路径为，从 $(1,1)$ 出发，只能向右 / 下方走，到达 $(n, m)$ 的行走方案。
定义路径的权重为，路径经过的整数的 $xor$ 之和。
求权重为 $k$ 的路径的条数。

链接

Codeforces 1006F

题解

定义从路径一端到 $(x,y)$ 的某条路径上的整数的 $xor$ 之和为 $(x,y)$ 处的状态。

由于 $n$ 和 $m$ 的范围均为 $20$ 之内，考虑暴力搜索。对于每个位置，之后都有两种状态转移（向下 / 向右）。因此我们将矩阵按照 $m + n$ 的值进行分层，如果从起点开始 $bfs$，易知每次状态转移使层数加一，每一层的状态数不超过上一层的二倍，故直接 $bfs$ 的状态数不超过 $2 ^ {m+ n}$ ，但这个量级是我们不能接受的。

而考虑起点和终点的值都是唯一且确定的，我们可以从起点和终点同时采用 $bfs$。因此我们规定 $\frac{m + n}{2}$ 为中心层，两个 $bfs$ 一到中心层则停止搜索，这样在中心层，如果有重合的状态则说明有合法路径。

为了记录合法路径的数目，我们需要记录某一个 $bfs$ （这里不妨设为从起点出发的）到达状态 $val$ 的路径数。在实现上，我们使用 $STL$ 库中的 $map$，形成状态到路径数的映射。这样先实现从起点出发的 $bfs$，得到中间层每个位置各个状态的路径数；再做另一个 $bfs$，对于每个到中间层的状态，把第一个 $bfs$ 中计算出的该状态对应的路径数加到总的 $ans$ 中。

这样搜索到中间层的状态数不超过 $2^{\frac{m+n}{2}}$，$map$ 的复杂度 $O(\log {2^{\frac{m+n}{2}}}) = O(\frac{m+ n}{2}\log 2) = O(\frac{m + n}{2})$，总复杂度 $O(\frac{m+n}{2} \cdot 2^{\frac{m+n}{2}})$ 。

代码

#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>

typedef long long LL;

const int N = 20;

struct State {
    int x, y;
    LL val;
    State(int x = 0, int y = 0, LL val = 0) : x(x), y(y), val(val) {}
};

int n, m, mid;
LL a[N][N], k;

// 记录中间层 状态->路径数 的映射
// 由于 x + y = (n + m) / 2，我们确定了 x 即可确定 y
// 因此 res[x][st] 代表中间层横坐标为 x 的点，状态为 st 的路径数目
std::map<LL, int> res[N << 1];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);

    std::cin >> n >> m >> k;
    mid = (n + m - 2) >> 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            std::cin >> a[i][j];
        }
    }

    LL ans = 0;
    std::queue<State> que1, que2;
    que1.push(State(0, 0, a[0][0]));
    while (!que1.empty()) {
        State tmp = que1.front(); que1.pop();
        int x = tmp.x, y = tmp.y;
        LL val = tmp.val;
        if (x + y == mid) { // 到达中心线
            if (res[x].count(val)) {
                ++res[x][val];
            } else {
                res[x][val] = 1;
            }
        } else {
            if (x + 1 != n) que1.push(State(x + 1, y, val ^ a[x + 1][y]));
            if (y + 1 != m) que1.push(State(x, y + 1, val ^ a[x][y + 1]));
        }
    }

    que2.push(State(n - 1, m - 1, k));
    while (!que2.empty()) {
        State tmp = que2.front(); que2.pop();
        int x = tmp.x, y = tmp.y;
        LL val = tmp.val;
        if (x + y == mid) {
            ans += res[x][val];
        } else {
            if (x - 1 >= 0) que2.push(State(x - 1, y, val ^ a[x][y]));
            if (y - 1 >= 0) que2.push(State(x, y - 1, val ^ a[x][y]));
        }
    }

    std::cout << ans << std::endl;

    return 0;
}