【AtCoder】ARC70D No Need -DP&贪心

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传送门:arc70d

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题解

我好菜啊。。。一道$600pts$的题想了这么久。。。
首先观察出最后的答案必然为值最小的前几个数(光这个都思考了很久QWQ)，简单证明一下：
先将$a$排序。
一个数$a_i$是$unnecessary$当且仅当所有含有这个数的“好”集合的值$\geq k+a_i$。这样不好想，我们换一种说法：$a_i$是$unnecessary$当且仅当所有不含有这个数的“坏”集合的值$< k-a_i$。
现在假设$a_x(x>1)$是$unnecessary$的，则不包含$a_x$的“坏”集合最大值$< k-a_x$，那么可以证明，$a_i(1\leq i <x)$均在这个值最大的“坏”集合当中，采用反证法：若存在一个数$a_i(1\leq i<x)$不在这个值最大的“坏”集合中，而这个值$<k-a_x$，所以$k-a_x+a_i<k$，这个不在“坏”集合中的数完全可以加入集合中使集合的值更大，与“值最大的‘坏’集合”这一定义矛盾。所以$a_i(1\leq i<x)$都在这个“坏”集合中。
设这个“坏”集合的值为$val$，由$val<k-a_x$，$val$中含有$a_i(1\leq i<x)$得$val+a_x-a_i<k-a_x+a_x-a_i$，设$val'=val+a_x-a_i$，则$val'<k-a_i$。因为$val$是不含$a_x$的最大“坏集合”，我们删去$a_i$加上$a_x$的过程保证了将$val'$最大化，所以证明了若$a_x$是$unnecessary$的，$a_i(1\leq i<x)$也一定是$unnecessary$的。
所以只需要找出最大的$unnecessary$的$a_x$，答案就是$x$。
设$val_x(1\leq x\leq n)$表示不包含$a_x$的值最大的“坏”集合的值，$sum_x$表示$a_x$的前缀和，$f(x,v)$表示$a_{x-n}$这个后缀中所有数的集合所能表示出的小于$v$的最大值。
由上面的证明得到：$val_x=sum_{x-1}+f(x+1,k-sum)$，依次枚举判断$val_x$是否$< k-a_x$即可。$f(x,v)$可用树状数组维护。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5050;
int n,k,a[N],f[N],mx,sum,tre[N];

inline void ad(int x,int val)
{for(;x<=k;x+=(x&(-x))) tre[x]=max(tre[x],val);}

inline int get(int x)
{
    int re=0;
    for(;x;x-=(x&(-x))) re=max(re,tre[x]);
    return re;
}

int main(){
    int i,j,res;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(i=1;i<=n;++i) {scanf("%d",&a[i]);a[i]=min(a[i],k);sum+=a[i];}
    sort(a+1,a+n+1);
    for(f[0]=1,mx=0,i=n;i>=1;--i){
        sum-=a[i];if(sum<k) res=get(k-sum-1);
        mx=min(mx+a[i],k);
        for(j=mx;j>=a[i];--j) if(!f[j] && f[j-a[i]]){
            ad(j,j);f[j]=1;
        }
        if(sum>=k) continue;
        if(sum+res<k-a[i]) break;
    }
    printf("%d\n",i);       
}