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题解

做这道题时又发现自己对后缀自动机的理解还不够深刻。。。
简单说一下题意，给定一个字符串，求一个子串序列 $s_1,s_2,s_3...$ ，满足序列中 $s_i$ 在 $s_{i+1}$ 中至少出现了两次(出现的范围之间可以相交，起始点不同即可)，要求输出子串序列的最大长度。
设 $f[i]$ 表示第 $i$ 个子串能排在序列中的最大下标。
那么每个满足第 $i$ 个子串出现两次以上的子串的 $f[j]$ 便可以用 $f[i]+1$ 来更新答案。
考虑最简的一个子串 $f[x]=k$ 必然存在 $s_x$ 左端和右端分别都是一个满足 $f[x']=k-1$ 的子串。因为如果不是，我们删去子串两端的字符，并不会使 $f[x]$ 减小，直到删成两端都满足 $f[x']=k-1$ ，而这两端的子串 $x'$ ，自身的两端同样满足 $f[x'']=k-2$ 。一直这样迭代到 $f[x'''^{...}]=1$ 。
所以一个 $f[x]=k$ 的子串 $x$ 必然可以由一个它的一个出现过两次以上的后缀 $f[x'']=k-1$ 转移而得。
每个子串的出现位置，后缀递推的统计和处理在这里体现出来。所以联想到后缀自动机， $fail$ 树上的每个节点恰好是 $right$ 数组相同的一些子串的集合。所以 $dp$ 的时候不需要记录子串，而是以每个节点来代表相同的 $f[x]$ 。寻找子串的过程恰是由 $fail$ 树上的祖先寻找最大值的过程。
进一步考虑，后缀自动机上的一个节点 $x$ ，其 $fail$ 树上的祖先均为它的后缀，存在一个 $right$ 集合真包含的关系，那么 $fail$ 树中随深度的增加， $f[x]$ 必然是单调不降的(若 $x$ 的一个子串存在 $f[x']=k$ ，即使只出现了一次， $f[x]$ 也必然不小于 $k$ )。而且每层之间，存在 $f[x]-f[fail_x]\leq 1$ 。只要 $x$ 的祖先中存在任何一个 $f[fail_x]=k$ 的节点中的子串，在 $x$ 节点的子串集合中出现过至少两次，就存在 $f[x]=k+1$ 。考虑到节点子串之间的真包含关系，它们的 $right$ 集合显然是越大越好，这样更可能出现两次。所以这里可以贪心记录 $x$ 的祖先中深度最浅(也即子串最长长度最小)的满足 $f[fail_x]=k$ 节点 $pos[fail_x]$ 来判断出现，如果这个子串集合都没能出现两次及以上，它的子节点自然也不能，那么 $f[x]=k$ ，反之如果出现了两次及以上， $f[x]=k+1$ 。
考虑这个过程中需要用到每个节点的出现集合(右端点)。可以对每个节点建立线段树，再由叶子节点不断向上合并，建可持久化线段树。
这里建主席树看别人代码时发现一个很巧妙的优化，因为祖先必然在后缀中出现一次，我们 $query$ 寻找出现的时候只需要判断除开结束点以外在 $[mx[pos[fail_x]]+num[x]-mx[x],num[x]-1]$ 这个区间是否出现即可。这样线段树上不需要记录任何信息，只需要判断动态加点线段树上这个节点是否存在即可，这样也很好合并线段树。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define mid (((l)+(r))>>1)
using namespace std;
const int N=4e5+100,M=1e7+100;
int n,f[N],mx[N],ch[N][26],c[N],sa[N];
int dp[N],pos[N],num[N];
int cnt=1,cur=1,p,q,ans=1;
char s[N];
int rt[N],ls[M],rs[M],tot;

inline void insert(int alp,int id)
{
    p=cur;cur=++cnt;mx[cur]=id;num[cur]=id;
    for(;!ch[p][alp] && p;p=f[p]) ch[p][alp]=cur;
    if(!p) f[cur]=1;else{
        q=ch[p][alp];
        if(mx[q]==mx[p]+1) f[cur]=q;else{
            mx[++cnt]=mx[p]+1;num[cnt]=id;
            f[cnt]=f[q];f[q]=f[cur]=cnt;
            memcpy(ch[cnt],ch[q],sizeof(ch[q]));
            for(;ch[p][alp]==q;p=f[p]) ch[p][alp]=cnt;
        }
    }
}

inline void ad(int &k,int l,int r,int tag)
{
    if(!k) k=++tot;
    if(l==r) return;
    if(tag<=mid) ad(ls[k],l,mid,tag);
    else ad(rs[k],mid+1,r,tag);
}

inline int merge(int x,int y)
{
    if(!x || !y) return x+y;
    int d=++tot;
    ls[d]=merge(ls[x],ls[y]);
    rs[d]=merge(rs[x],rs[y]);
    return d;
}

inline int query(int k,int l,int r,int L,int R)
{
    if(!k) return 0;
    if(l==r) return 1;
    if(L<=mid) if(query(ls[k],l,mid,L,R)) return 1;
    if(R>mid) if(query(rs[k],mid+1,r,L,R)) return 1;
    return 0;
}

int main(){
    int i,j,x;
    scanf("%d%s",&n,s+1);
    for(i=1;i<=n;++i) insert(s[i]-'a',i);
    for(i=1;i<=cnt;++i) c[mx[i]]++;
    for(i=1;i<=n;++i) c[i]+=c[i-1];
    for(i=cnt;i>1;--i) sa[c[mx[i]]--]=i;
    for(i=cnt;i>1;--i){
        x=sa[i];
        ad(rt[x],1,n,num[x]);
        rt[f[x]]=merge(rt[f[x]],rt[x]);
    }
    for(i=2;i<=cnt;++i){
        x=sa[i];
        if(f[x]==1){dp[x]=1;pos[x]=x;continue;}
        if(query(rt[pos[f[x]]],1,n,mx[pos[f[x]]]+num[x]-mx[x],num[x]-1))
            dp[x]=dp[f[x]]+1,pos[x]=x;
        else dp[x]=dp[f[x]],pos[x]=pos[f[x]];
        ans=max(ans,dp[x]);
    }
    printf("%d\n",ans);
}

【CF】700E Cool Slogans 后缀自动机&DP&贪心&线段树可持久化合并

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代码

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