巴什博弈

巴什博弈是最基础的博弈游戏。

有一堆石子，共计n颗，规定二人每次拿1~m颗石头，先拿完者胜，求解先手是否能赢。

算法思想非常好考虑：

因为每次最多拿m颗石头，所以当n是m+1的倍数时，first无论拿多少颗，second只要在first之后拿能够凑够m+1颗石子就能胜利，所以first必败。

如果n不是m+1的倍数，假设n = (m+1)*s + r（1 <= r <= m-1），那么first只要在首轮拿走r颗石子，使得此时石子数目为m+1的倍数，就将必败态转移给了second，first延续上述的策略，first必胜。

参考题目：

HDU1849

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int N;
    cin>>N;
    while(N--)
    {
            int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
        if(n %(m+1) == 0)
        {
            cout<<"second"<<endl;
        }
        else
        {
            cout<<"first"<<endl;
        }
    }

}

HDU2149

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1005;

int main()
{
    int m,n;
    //田地m
    while(scanf("%d %d",&m,&n) != EOF)
    {
        if(m<=n)
        {
            for(int i = m; i<n; i++)
                cout<<i<<" ";
            cout<<n<<endl;
        }
        else
        {
            int r = m%(n+1);
            if(r == 0)
                cout<<"none"<<endl;
            else
                cout<<r<<endl;
        }
    }
}

威佐夫博弈

有两堆石子，两个玩家可以（1）从两堆石子中分别取相同数目的石子（2）从一堆石子中取任意数目的石子，求解先手是否能赢。

扫描二维码关注公众号，回复： 3037940 查看本文章

算法思想很巧（而且数学思想很BT）：

首先我们引入奇异局势（也就是必败局势，我实在是很不明白，为什么好好的名词非要按字面翻译成各种令人费解的名字）的概念：可以知道，（0，0）一定是一个奇异局势，以此类推（0，i），（i，i），（i，0）就一定是必胜局势。因必胜局势的上一步便是奇异局势，故我们可以得到奇异局势如下：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）……

可以发现（我没发现），奇异局势（ak，bk）是这样构成的：（ak，ak+k），ak是在前面未出现过的最小自然数。

奇异局势有以下三条性质：

任何自然数都包含在唯一一个奇异局势之中。

任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

方法适当，非奇异局势可以变为奇异局势。

假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；

如果a = ak ，b > bk，那么，取走b – bk个物体，即变为奇异局势；

如果 a = ak ， b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak – ab + ak个物体,变为奇异局势（ ab – ak , ab – ak+ b – ak）；

如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a – ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – aj 即可。

以上关于非奇异到奇异的拿法是我粘的，总之，判断（a，b）是否为奇异矩阵的公式如下： $(n-m)*\frac{1+\sqrt{5}}{2} == m$ ，如果成立，则此局面为奇异局势，先手必败。

参考题目：

POJ1067

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    long long n,m;
    while(scanf("%I64d %I64d",&n,&m) != EOF)
    {
        if(n<m)
        {
            int t = m;
            m = n;
            n = t;
        }
        double w=(sqrt(5)+1)/2;
        long long s = (n-m)*w;
        if(s == m)
            printf("0\n");
        else
            printf("1\n");
    }
}

尼姆博弈

尼姆博弈可以说是巴什博弈的加强版，即有N堆石子，可以从一堆石子中拿走任意个，先拿完者胜

算法推导可以见这位博主写的博文POJ-2234：

一个格局记为（x1,x2,...,xn)，且次序无关，此格局为 P-格局当且仅当 x1^x2^...^xn = 0.其中^是按位异或运算

参考题目：

POJ2234

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn =1005;
const int INF  =1e9;

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n) != EOF)
    {
        int a[maxn];
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            ans ^= a[i];
        }
        if(ans) printf("Yes\n");
        else printf("No\n");

    }
    return 0;
}

HDU1850

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 105;

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n) != EOF && n)
    {
        int a[maxn];
        int tmp = 0;
        int sum = 0;
        for(int i = 1; i<=n; i++)
        {
            cin>>a[i];
            tmp ^= a[i];
        }
        if(tmp == 0)
            cout<<"0"<<endl;
        else
        {
            for(int i = 1; i<=n; i++)
            {
                if(a[i]>(tmp^a[i]))
                    sum++;
            }
            cout<<sum<<endl;
        }

    }
}

斐波那契博弈

1堆石子有n个（n>1）,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍，先取完者胜。

算法如下：

判断石子数是否为斐波那契数即可，若n = f（k），则先手必败。

因为在斐波那契数列中，f（i） = f（i - 1） + f （i - 2），所以很好证明f（i） <= f（i-1）*2.

参考题目

HDU2516

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    long long fib[120];
    fib[1] = 1;
    fib[2] = 1;
    for(int i = 3; i<120; i++)
        fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
    int n;
    while(scanf("%d",&n) != EOF)
    {
        if(n==0)break;
        int flag = 0;
        for(int i = 1; i<120; i++)
        {
            if(fib[i] == n)
            {
                flag = 1;
                break;
            }
        }
        if(flag)
            cout<<"Second win"<<endl;
        else
            cout<<"First win"<<endl;
    }
}

环形博弈

n个石子围成一个环，每次可取走1个或相邻的两个，注意若两个石子之间的石子被取走，这两个石子仍然是不相邻的。

算法比较精妙，值得借鉴

对于n=1和n=2的情况，先手必胜。

当n=3时，显然先手必败。

当n>3时，我们可以对这个环画一个对称轴，无论先手怎么取，后手只要让这个环呈对称状就能赢。

参考题目：

POJ2484

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1005;

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!= EOF &&n)
    {
        if(n==1||n==2)
            cout<<"Alice"<<endl;
        else
            cout<<"Bob"<<endl;
    }
}

HDU3951

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn =1005;
const int INF  =1e9;

int main()
{
    int N;
    while(scanf("%d",&N) != EOF)
    {
        for(int t = 1; t<= N; t++)
        {
            int n,k;
            cin>>n>>k;
            if(k == 1)
            {
                if(n%2)
                    printf("Case %d: first\n",t);
                else
                    printf("Case %d: second\n",t);
            }
            else
            {
                if(n>k)
                    printf("Case %d: second\n",t);
                else
                    printf("Case %d: first\n",t);
            }
        }
    }
    return 0;
}

几种博弈问题及算法

巴什博弈

威佐夫博弈

POJ1067

尼姆博弈

斐波那契博弈

环形博弈

猜你喜欢