一，问题描述
给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（最长公共序列）比如字符串1：BDCABA;字符串2：ABCBDAB
则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA
二，算法求解
这是一个动态规划的题目对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构;②重叠子问题
①最优子结构
设X =（x1，x2，..... xn）和Y = {y1，y2，..... ym}是两个序列，将X和Y的最长公共子序列记为LCS（X ，Y）
找出LCS（X，Y）就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X和ý中最长的那个公共子序列。而要找X和ÿ的LCS，首先考虑X的最后一个元素和ÿ的最后一个元素。
1）如果xn = ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS（Xn-1，Ym-1）
LCS（XN-1，YM-1）就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）
为什么是最优的子问题？因为我们要找的是XN-1和YM-1的最长公共子序列啊......最长的！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）
2）如果xn！= ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS（Xn-1，Ym）和LCS（Xn，Ym-1）
因为序列X和序列ý的最后一个元素不相等嘛，说明那一个求最后元素不可能的英文最长公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。
LCS（Xn-1，Ym）表示：最长公共序列可以在（x1，x2，...... x（n-1））和（y1，y2，... yn）中找。
LCS（Xn，Ym-1）表示：最长公共序列可以在（x1，x2，... xn）和（y1，y2，... y（n-1））中找。
求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是LCS（X，Y）用数学表示就是：
LCS = MAX {LCS（XN-1，YM），LCS（XN，YM-1）}
由于条件1）和2）考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功地把原问题转化成了三个规模更小的子问题。
②重叠子问题
重叠子问题是啥？就是说原问题转化成子问题后，子问题中有相同的问题。咦？我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊????
好的，来看看，原问题是：LCS（X，Y）子问题有❶LCS（XN-1，YM-1）❷LCS（XN-1，YM）❸LCS（XN，YM-1）
初一看，这三个子问题是不重叠的可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分举例：
第二个子问题：LCS（XN-1，YM）就包含了：问题❶LCS（XN-1，YM-1），为什么？
因为，当XN-1和YM的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS（XN-1，YM）进行分解：分解成：LCS（XN-1，YM-1）和LCS（XN-2 ），YM）
也就是说：子在问题的继续分解中，有些问题是重叠的。
由于像LCS这样的问题，它具有重叠子问题的性质，因此：用递归来求解就太不划算了因为采用递归，它重复地求解了子问题啊而且注意哦，所有子问题加起来的个数可是指数级的哦....
文章这篇中就_ECSHOP演示了一个递归求解重叠子问题的示例。
那么问题来了，你说用递归求解，有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题，难道用了动态规划，就变成多项式时间了？
呵呵哒....
关键是采用动态规划时，并不需要去一一计算那些重叠了的子问题或者说：用了动态规划之后，有些子问题是通过“查表”直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的废话少说：举个例子吧比如求蛋白原的数列关于纤维蛋白原的数列，可参考：
求FIB（5），分解成了两个子问题：FIB（4）和FIB（3），求解FIB（4）和FIB（3）时，又分解了一系列的小问题....
从图中可以看出：根的左右子树：FIB（4）和FIB（3）下，是有很多重叠的!!!比如，对于FIB（2），它就一共出现了三次如果用递归来求解，FIB（2）就会被计算三次，而用DP（动态规划）动态规划，则FIB（2）只会计算一次，其他两次则是通过“查表”直接求得。而且，更关键是是：查找求得该问题的解之后，就不需要再继续去分解该问题了而对于递归，是不断地将问题分解，直到分解为基准问题（FIB（1）或者FIB（0））
说了这么多，还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧:)
c [i，j]表示：（x1，x2 .... xi）和（y1，y2 ... yj）的最长公共子序列的长度。（是长度哦，就是一个整数嘛）。公式的具体解释可参考“算法导论”动态规划章节