一,问题描述
给定两个字符串,求解这两个字符串的最长公共子序列(Longest Common Sequence)。比如字符串1:BDCABA;字符串2:ABCBDAB
则这两个字符串的最长公共子序列长度为4,最长公共子序列是:BCBA
二,算法求解
这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题,一般有两个特征:①最优子结构;②重叠子问题
①最优子结构
设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列,将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)
找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为,我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS,首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。
1)如果 xn=ym,即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同,这说明该元素一定位于公共子序列中。因此,现在只需要找:LCS(Xn-1,Ym-1)
LCS(Xn-1,Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题?因为它的规模比原问题小。(小一个元素也是小嘛....)
为什么是最优的子问题?因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的!!!换句话说,就是最优的那个。(这里的最优就是最长的意思)
2)如果xn != ym,这下要麻烦一点,因为它产生了两个子问题:LCS(Xn-1,Ym) 和 LCS(Xn,Ym-1)
因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛,那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。(都不相等了,怎么公共嘛)。
LCS(Xn-1,Ym)表示:最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。
LCS(Xn,Ym-1)表示:最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。
求解上面两个子问题,得到的公共子序列谁最长,那谁就是 LCS(X,Y)。用数学表示就是:
LCS=max{LCS(Xn-1,Ym),LCS(Xn,Ym-1)}
由于条件 1) 和 2) 考虑到了所有可能的情况。因此,我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。
②重叠子问题
重叠子问题是啥?就是说原问题 转化 成子问题后, 子问题中有相同的问题。咦?我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊????
OK,来看看,原问题是:LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(Xn-1,Ym-1) ❷LCS(Xn-1,Ym) ❸LCS(Xn,Ym-1)
初一看,这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的,因为它们只重叠了一大部分。举例:
第二个子问题:LCS(Xn-1,Ym) 就包含了:问题❶LCS(Xn-1,Ym-1),为什么?
因为,当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时,我们又需要将LCS(Xn-1,Ym)进行分解:分解成:LCS(Xn-1,Ym-1) 和 LCS(Xn-2,Ym)
也就是说:在子问题的继续分解中,有些问题是重叠的。
由于像LCS这样的问题,它具有重叠子问题的性质,因此:用递归来求解就太不划算了。因为采用递归,它重复地求解了子问题啊。而且注意哦,所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。
这篇文章中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。
那么问题来了,你说用递归求解,有指数级个子问题,故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题,难道用了动态规划,就变成多项式时间了??
呵呵哒。。。。
关键是采用动态规划时,并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说:用了动态规划之后,有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的,而不是重新又计算一遍得到的。废话少说:举个例子吧!比如求Fib数列。关于Fib数列,可参考:
求fib(5),分解成了两个子问题:fib(4) 和 fib(3),求解fib(4) 和 fib(3)时,又分解了一系列的小问题....
从图中可以看出:根的左右子树:fib(4) 和 fib(3)下,是有很多重叠的!!!比如,对于 fib(2),它就一共出现了三次。如果用递归来求解,fib(2)就会被计算三次,而用DP(Dynamic Programming)动态规划,则fib(2)只会计算一次,其他两次则是通过”查表“直接求得。而且,更关键的是:查找求得该问题的解之后,就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归,是不断地将问题分解,直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))
说了这么多,还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧:)
c[i,j]表示:(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度。(是长度哦,就是一个整数嘛)。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节
import javax.print.DocFlavor; import java.util.ArrayList; /** * 动态规划的方法 * 采用二维数组flag来记录下标i和j的走向。数字"1"表示,斜向下;数字"2"表示,水平向右;数字"3"表示,竖直向下。这样便于以后的求解最长公共子序列 */ public class LCS { //求解str1 和 str2 的最长公共子序列 public int LCS(String str1, String str2, int[][] flag){ int[][] c = new int[str1.length() + 1][str2.length() + 1]; for(int row = 0; row <= str1.length(); row++) c[row][0] = 0; for(int column = 0; column <= str2.length(); column++) c[0][column] = 0; for(int i = 1; i <= str1.length(); i++) for(int j = 1; j <= str2.length(); j++) { if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1))//两个list最后一个元素是相同的 { c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1; flag[i][j] = 1; ///斜向下标记 } else if(c[i][j-1] > c[i-1][j])//长的序列在c[i][j-1]里面,那么就要c[i][j-1],体现max { c[i][j] = c[i][j-1]; flag[i][j] = 2; ///向右标记 } else{ c[i][j] = c[i-1][j];//长的序列在c[i-1][j]里面,那么就要c[i-1][j],体现max flag[i][j] = 3; ///向下标记 } //或者直接如下 // else { // c[i][j] = Math.max( c[i][j-1], c[i-1][j]); // } } return c[str1.length()][str2.length()]; } //下面是递归获取输出最长子序列,也需要和上面的左右保持一致(即1,2,3) public void lcs(int i,int j,String str1,int [][]flag) { if(i==0||j==0)return; if(flag[i][j]==1){ lcs(i-1,j-1,str1,flag); System.out.print(str1.charAt(i)); } else if (flag[i][j]==2)lcs(i,j-1,str1,flag); else lcs(i-1,j,str1,flag); } public static void main(String[] args) { String str1 = "BDCABAE"; String str2 = "ABCBDABE"; LCS lcsClass = new LCS(); int[][] flag = new int[str1.length() + 1][str2.length() + 1]; //标记数组,用于标识下标的走向,构造出公共子序列 int result = lcsClass.LCS(str1, str2, flag); System.out.println("lcslength:" + String.valueOf(result)); System.out.println("the lcs is:"); lcsClass.lcs(str1.length() - 1, str2.length() - 1, str1, flag); } }