算法概论第八章课后题 8.12

题目复述

8.12. The k-spanning TREE problem is the following.
Input: An undirected graph G = (V, E)
Output: A spanning tree of G in which each has degree $<=$ k, if such a tree exits.
show that for k >= 2.

(a) k-spanning tree is a search problem
(b) k-spanning tree is NP-complete.(Hint: start with k = 2 and consider the relation between this problem and RUDRATA PATH)

证明

a. 搜索问题的意思是，给出一个解，对于这个题目来说就是一个无向图图，要验证是否是有一棵K-spanning tree，只需遍历这棵生成树的所有节点，判断是否每个节点的度数都为k即可。

b.我们考虑k=2时的情况，并假设图G=(V, E)中存在一棵2-生成树，即树中任意节点的度数都为2。我们考虑Rudrata路径问题进行规约，这个其实就是一个简化的Rudrata路径，我们去掉一个Rudrata路径的起点和终点之后，剩下的其实就是一个2-生成树，同理，我们给一个2-生成树加上两个度为1的点，和这个生成树连接起来作为起点和终点，那么就是一个Rudrata路径了。