8.3 证明吝啬SAT问题为NP完全问题
STINGY SAT is the following problem:given a set of clauses(each a disjunction of literals) and an integer k,find a satisfying assignment in which at most k variables are true,if such an assignment exists.Prove that STINGY SAT is NP-complete.
吝啬SAT问题是这样的：给定一组子句（每个子句都是其中文字的析取）和整数k，求一个最多有k个变量为true的满足赋值——如果该赋值存在。证明吝啬SAT是NP-完全问题。
要证明一个问题是NP-完全问题，需要证明以下两点：
1. 它是一个NP问题 ；
2. 其他属于NP的问题都可归约成它。
若已知某个与吝啬SAT问题变量对应的真值集合，可在多项式时间内将该集合带入吝啬SAT问题验证是否为解。故吝啬SAT问题为NP问题。
而对于第二点，由于已知所有的NP问题都可以被归约为SAT问题，因此我们只需要证明SAT问题可以被归约为吝啬SAT问题即可得证。
假设I是SAT的一个实例，若I中变量的总数为k，则（I, K）是吝啬SAT问题的一个实例。给定（I, K）的一个解S，则若S中至多有k个变量为true，则S也是I的解。因此，吝啬SAT的解也是SAT的解。从而，SAT问题归约为吝啬SAT问题。最终，证明吝啬SAT问题是一个NP完全问题。