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题解

考虑是个环，把 $T$ 数组双倍复制一下，得到：
$ans=min_{i=1}^n (max_{j=i} ^{i+n-1}(T_j-(j-i)))+n-1$

证明：

当 $max_{i=1}^n T_i<2\times (n-1)$ 时，显找到最小的差 $min_{i=1} ^n(max_{j=i}^{i+n-1}(T_j-(j-i)))$ 后在起点等待这么久后，就可以畅通无阻地走完一圈，而答案是最优的。

当 $max_{i=1}^n T_i\geq 2\times (n-1)$ 时，从某一起点出发，有可能先走完一圈其他点后再绕回这个最大点，答案最优，而如果按照上面的式子算，显然不是最优的(这也是问题所在，如下图(出发点为蓝点，红点 $T_i\geq 2\times(n-1)$ ))。
这里写图片描述
考虑在走完一圈后，红蓝之间的点显然是多走了一次的，而这些时间应该包含在等待 $T_{max}$ 中，而不是额外再算，但完全可以从绿点出发，对于绿点来说，先走和后走就没什么区别了，上式也就满足了最优。

故对于所有情况，都存在上式可以取到最优解。

再观察枚举起点后的取答案： $max_{j=i}^{i+n-1}(T_j-(j-i))$

实际上等价于 $max_{j=i}^{2n}(T_j-j)+i$ ，因为显然 $T_i-i>T_{i+n}-(i+n)(T_i=T_{i+n},1\leq i\leq n)$ ，这样化简后等价于求一个后缀最大，处理出 $x_i=max_{j=i}^{2n} (T_j-j)$ ，则
$ans=min_{i=1}^n (x_i+i)+n-1$ 。

没有修改的询问直接 $O(n)$ 查询即可。
有修改的询问用线段树优化。

考虑线段树如何优化单调队列：
线段树节点 $k$ (管辖范围 $[l,r]$ )上存两个信息： $mx_k,val_k$ 。 $mx_k=max_{i=l}^r (T_i-i),val_k=min_{i=l}^{mid}(x_i+i)\ (x_i=max_{j=i}^r (T_j-j))$
(线段树根节点范围为 $[1,2n]$ ，查询直接回答 $val_{root}+n-1$ )。

考虑如何 $pushup$ ：

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设当前节点为 $k$ (管辖区间为 $[l,r']$ )，左儿子为 $ls$ (管辖区间为 $[l,r]$ )，右儿子为 $rs$ (管辖区间为 $[r+1,r']$ )。

$mx_k=max(mx_{ls},mx_{rs})$

对于 $val_k=min_{i=l}^r (x_i+i)$ ，由 $ls$ 可得 $min_{i=l} ^ {mid} (x_i+i)$ ，而 $min_{i=mid+1}^{r} (x_i+i)+r-l$ ，通过 $query(nw,mxx,l,r)$ 递归得到(底层为 $max(mx_{nw},mxx)$ )，分类讨论一下 $query(ls,mx_{rs},l,r)$ ：

$mx_{ls_{rs}}\geq mx_{rs}$ 时， $val_{ls_{ls}}$ 不变，只需要修改 $ls_{rs}$ ，返回 $min(val_{ls},query(ls_{rs},mx_{rs},mid+1,r))$
$mx_{ls_{rs}}<mx_{rs}$ 时， $val_{ls}$ 整个都会统一增大，但不确定 $mx_{ls_{ls}}$ 与 $mx_{rs}$ 的关系，返回 $min(mid+1+mx_{rs},query(ls_{ls},mx_{rs},l,mid))$

复杂度 $O((n+m)log^2 n)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define gc getchar
#define si isdigit
#define mid (((l)+(r))>>1)
#define lc k<<1
#define rc k<<1|1
using namespace std;
const int N=2e5+100;
int n,m,a[N],op,ans;
int mx[N<<2],val[N<<2];

char c;
inline int rd()
{
    c=gc();int x=0;
    for(;!si(c);c=gc());
    for(;si(c);c=gc()) x=x*10+(c^48);
    return x;
}

inline int get(int ql,int mxx,int l,int r)
{
    if(l==r) return max(mx[ql],mxx)+l;
    if(mx[ql<<1|1]>=mxx) return min(val[ql],get(ql<<1|1,mxx,mid+1,r));
    return min(mid+1+mxx,get(ql<<1,mxx,l,mid));
}

inline void update(int k,int l,int r)
{
    mx[k]=max(mx[lc],mx[rc]);
    val[k]=get(lc,mx[rc],l,mid);
}

inline void build(int k,int l,int r)
{
    if(l==r){val[k]=a[l]+l;mx[k]=a[l];return;}
    build(lc,l,mid);build(rc,mid+1,r);
    update(k,l,r);
}

inline void change(int k,int l,int r,int pos)
{
    if(l==r) {val[k]=a[l]+l;mx[k]=a[l];return;}
    if(pos<=mid) change(lc,l,mid,pos);
    else change(rc,mid+1,r,pos);
    update(k,l,r);
}

inline void out(int x){if(x>9) out(x/10);putchar('0'+x%10);}

int main(){
    int i,j,x,y;
    n=rd();m=rd();op=rd();
    for(i=1;i<=n;++i){a[i]=rd()-i;a[i+n]=a[i]-n;}
    build(1,1,n<<1);
    out((ans=val[1]+n-1));puts("");
    for(;m;--m){
        x=rd();y=rd();
        if(op) x^=ans,y^=ans;
        a[x]=y-x;a[x+n]=y-x-n;
        change(1,1,n<<1,x);change(1,1,n<<1,x+n);
        out((ans=val[1]+n-1));puts("");
    }
}

【BZOJ】5286: [Hnoi2018]转盘 -线段树优化单调队列

题解

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