8. 深度学习实践：优化（续）

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接上部分讨论：8. 深度学习实践：优化

3. 基本算法

3.1 随机梯度下降

SGD及其变种很可能是一般ML中应用最多的优化算法。

关键参数：学习率。最好的选择方法：监测目标函数值随时间变化的学习曲线。与其科学，更像艺术。实践中有必要随时间逐渐降低学习率。

SGD（1998年就有了）、小批量、基于梯度优化的在线学习算法，一个重要性质：每一步更新的计算时间不依赖于训练样本数目的多寡。

3.2 动量（momentum）法

SGD的学习过程有时会很慢。动量法（1964年）旨在加速学习。积累了之前梯度指数级衰减的移动平均，并且继续沿着该方向移动。

普通的梯度步骤会浪费时间在峡谷的窄轴上来回移动：

动量正确的纵向穿过峡谷：

动量主要针对两个问题：一是海森矩阵的病态条件，二是随机梯度的方差。该图直观解释了第一个问题。红色路径表示动量学习规则所遵循的路径，黑色箭头表示梯度下降将在该点采取的步骤。

动量版算法引入了变量$v$充当速度角色，代表参数移动的方向和速率。速度被设定为负梯度的指数衰减平均。动量一词是物理类比，负梯度是移动参数空间中粒子的力。假设是单位质量，则速度向量$v$可看作是粒子的动量。$\alpha$决定了之前梯度的贡献衰减得有多大，越大则之前梯度对现在方向的影响也越大（放大了之前梯度的效果）。

步长大小为：

例如，当$\alpha$为 0.9 时，对应着最大速度10倍于梯度下降算法。当许多连续的梯度指向相同的方向时，步长最大。马太效应的感觉。梯度下降算法基于每个梯度简单的更新一步。动量算法则使用力改变粒子的速度。

3.3 Nesterov动量

受Nesterov加速梯度算法（1983，2004）启发，Sutskever（2013）提出了动量算法的一个变种。和标准动量体现在梯度计算上。梯度计算在施加当前速度之后。

4. 参数初始化策略

4.1 初始化很重要

有的优化算法是非迭代的，仅是求解一个解点（例如，求二次函数的最小值）。有的本质上是迭代的，但优化时能在可接受时间内收敛到可接受的解，并且与初始值无关（凸优化，不论从哪走，都可以到碗底）。

DL训练算法通常没有这两种奢侈的性质。通常是迭代的，需要指定初始点。训练网络足够困难，大多数算法很大程度地受到初始化选择的影响。初始点能够决定算法是否收敛。当学习收敛时，初始点可决定学习收敛得有多快，以及是否收敛到一个代价高或低的点。

现代的初始化策略是简单的、启发式的。设定改进的初始化策略很困难，因为NN优化至今尚未很好理解。机理不知，没有指导。一个比较确知的特性是：初始参数需要在不同单元间破坏对称性。若相同激活函数的两个隐藏单元连接到相同的输入，则这些单元必须具有不同的初始参数。

4.2 常用的策略

本书讲了2页。理解没到，看了仅是字面意思，暂不做笔记。

5. 自适应学习率算法

学习率是难以设置的超参数之一。若我们相信方向敏感度有些轴对齐（互相正交吗？），则每个参数设置不同的学习率。在整个学习过程中自动适应这个学习率是有道理的。

以下讨论内容，是基于梯度优化方法（学习率是超参数），本节做的改进的算法，对基本形式做了各种调整，学习率（步长）在训练过程中成了一个变化着的值，谓之自适应。

5.1 AdaGrad算法

2011年。思路：独立的适应所有模型参数的学习率，缩放每个参数反比于其所有梯度历史平方值总和的平方根（平方根值越大，缩得越美，学习率越小了）。

原来的参数更新，对于所有参数都使用相同的学习率。某一个参数向量变化为：

$\theta_{t+1,i}=\theta_{t,i}-\epsilon \cdot g$

现在，学习率随着每次迭代，根据历史梯度变化：

$\theta_{t+1,i}=\theta_{t,i}-\frac{\epsilon}{\sqrt{r}+\delta} \cdot g$

r是d*d的对角矩阵，每个对角线位置i对应某个参数，i的值累加到t次迭代的对应参数的梯度平方和。平方根是因为实践中发现效果更好。

具有损失最大偏导的参数，则相应的有一个快速下降的学习率（缩得厉害）。具有小偏导的参数，在学习率上有相对较小的下降（缩得轻，学习率仍较大）。净效果是参数空间中更平缓的倾斜方向上（小偏导）取得更大的进步（学习率较大），越是陡急的方向上步子小一些。（$\color{red}{这块公式上还是没有倒清楚}$）

凸优化时，该算法还行。然而经验上已发现，对于训练DL模型时，从训练开始时就积累梯度平方会导致有效学习率过早和过量的减小。

5.2 RMSProp算法

2012年，Hinton修改AdaGrad算法，以在非凸设定下效果更好，改变梯度累积，为指数加权的移动平均。当训练非凸函数的NN时，Ada的学习轨迹可能穿过了很多不同钢结构，最终到达一个局部是凸碗的区域。Ada根据平方梯度的整个历史收缩学习率，可能使得学习率在达到这样的凸结构前就变得很小了，从而胜利的前夜脚步慢了。

RMSProp使用指数衰减平均，以丢弃遥远故去的历史，使其能够在找到凸碗结构后快速收敛，就像一个初始化于该碗状结构的Ada算法实例。

算法标准形式：

加上了一个衰减速率，代表着对以前结果的考虑，若为0.5，则历史和现在都考虑着，若未0.1，则历史考虑1份，现在考虑9份。用来控制移动平均的长度范围。其余一样。

结合Nesterov动量的形式：

在动量中，步长因子上，考虑了累计梯度的效果。该法已被证明行之有效，目前常用。

5.3 Adam算法

2014年提出，源自“adaptive moments”，另一种学习率自适应的优化算法。

主要是基于RMSProp法来做。Adam中，动量直接并入了梯度一阶矩的估计（结合动量使用没有明确的理论动机）。其次，Adam中包括偏置修正，修正从原点初始化的一阶矩（动量项）和二阶矩估计。RMSProp也采用了二阶矩估计，但缺失了修正因子。Adam通常被认为对超参数的选择相当鲁棒。

5.4 如何选择？

没有一致共识。具有自适应学习率的算法族表现很好，但没有那个脱颖而出。

当前最流行的优化算法：SGD，动量SGD，RMSProp，动量RMSProp，Adam和AdaDelta。选择哪个算法：取决于你对哪个较熟悉，以便调节超参数。

6. 二阶近似方法

暂不做详细阅读和笔记。

6.1 牛顿法

6.2 共轭梯度

6.3 BFGS法

7. 优化策略和元算法

7.1 批标准化

设H是需要标准化的某层的小批量激活函数，排布为设计矩阵。每个样本的激活出现在矩阵的每一行中。为了标准化H，将其替换为：

$H'=\frac{H-\mu}{\delta}$

$\mu$是包含每个单元均值的向量，$\delta$是包含每个单元标准差的向量。应用于矩阵H的每一行，每行内是逐元素运算。

本节暂不做详细笔记。

7.2 坐标下降

某些情况下，将优化问题分解可更快解决。我们相对于某个单一变量$x_i$最小化$f(x)$，然后相对于另一个变量$x_j$等，反复循环所有变量，达到局部极小值。称之为：坐标下降法。更一般的，块坐标下降法，是指我们对于某个子集（子集中只有一个元素时就是单个坐标下降了）的变量同时最小化。

当优化问题中的不同变量们，可以清楚分成相对独立的组时，坐标下降最有意义。举例，有代价函数为：

这是稀疏编码的学习问题。目标是寻求一个权重矩阵W（字典），可以线性解码激活值矩阵H（稀疏表示），以重构训练集X（原本样本）。第一项说H要尽量稀疏（非0元尽量少），第二项说尽可能编码X。以前做过笔记见《西瓜书》笔记11：特征选择与稀疏表示（三）。

代价函数非凸，但如果将训练算法的输入分成两个集合：字典W和表示H。最小化二者之一的任意一组变量的目标函数都是凸。块坐标下降允许我们高效的凸优化算法，交替做：固定H优化W，固定W优化H。

当然了，当一个变量的值很大程度地影响另一个变量的最优值时，坐标下降不是一个很好的方法。

7.3 Polyak平均

Polyak平均（1992年）会平均优化算法在参数空间访问轨迹中的几个点。若t次迭代梯度下降访问了点$\theta^{(1)},...,\theta^{(t)}$，则Polyak平均算法的输出是$\hat \theta^{(t)}=\frac{1}{t}\sum_i\theta^{(i)}$。

应用其到非凸问题时，通常会用指数衰减来计算平均值：

7.4 监督预训练

7.4.1 监督预训练

模型如果太复杂，难以优化。任务如果很困难，直接训练模型来解决的挑战很大。那么，可以训练一个较简单的模型来求解问题，然后逐步加大模型的复杂度可能会有效。训练模型求解一个简单问题，转移到大问题上，有时也会有效。

预训练：在直接训练目标模型求解目标问题之前，训练简单模型求解简单问题的方法（pretraining）。

贪心算法：将问题分解为许多部分，然后独立在每个部分求解最优值。但是，结合各个最佳部分不能保证得到一个最佳的完整解。然而，贪心算法计算上比求解最优联合解高效得多，而且我们常会接受该解。贪心也可紧接一个 精调（fine-tuning）阶段，联合优化算法搜索全问题的最优解。使用贪心解，来初始化联合优化算法，可以加大加速算法。

贪心预训练，在DL中普遍存在。greedy supervised pretraining。在2007年Bengio的原始版本中，每个隐藏层，以先前训练的隐藏层的输出，为输入。

2015年有版本是预训练深度卷积网络（11层），然后使用该网络前4层、最后3层初始化更深的网络（多达19层），并非一次预训练一层。非常深的新网络的中间层是随机初始化的。然后联合训练新网络。等等。

7.4.2 贪心预训练为什么会有帮助？

2007年Bengio提出的假说：有助于更好地指导深层结构的中间层的学习。

默默无闻的中间层，有机会被拉出来重点关注下，因此它们挺开心，表现也很好。

迁移学习 想法：2014年在一组任务上，预训练了一个8层权重的深度卷积网络（ImageNet数据集的子集）。然后用该网络的前k层初始化了一个同样规模的网络。然后第二个网络的所有层，联合训练以执行不同的任务（ImageNet数据集的另一个子集），但训练样本小于第一个任务。（似乎是第一个捕捉到了某种神秘信息，迁移地用到了第二个上）

7.5 设计有助于优化的模型

实践中，选择一族容易优化的模型，比使用一个强大的优化算法更重要。NN在过去30年的大多数进步主要来自于改变模型族，而非改变优化过程。1980年代用于训练NN的带动量的SGD，仍然是现代NN的前沿算法。

现代NN的设计选择体现在：层之间的线性变换，几乎处处可导的激活函数，大部分定义域都有明显的梯度。LSTM，ReLU，maxout单元都比先前的模型使用更多的线性函数。

其他的模型设计策略还包括：层之间的线性路径，跳跃连接，减少了从较低层参数到输出最短路径的长度，缓解了梯度消失问题（2015年）。这是预训练策略的替代方法。以这种方式，可在一个阶段联合训练所有层，不改变架构，使得中间层，低层，可通过更短路径得到一些如何更新的有用信息。

7.6 延拓法、课程学习

暂不做详细笔记。