BZOJ5219[Lydsy2017省队十连测] 最长路径

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原题链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5219

最长路径

Description

在Byteland一共有n个城市，编号依次为1到n，它们之间计划修建n(n-1)/2条单向道路，对于任意两个不同的点i和j，在它们之间有且仅有一条单向道路，方向要么是i到j，要么是j到i。换句话说，这是一个n个点的竞赛图。Byteasar居住在1号城市，他希望从1号城市出发，沿着单向道路不重复地访问一些城市，使得访问的城市数尽可能多。

请写一个程序，帮助Byteasar计算有多少种道路修建方式，使得从1号点出发的最长简单路径经过点数恰好为k，由于答案可能很大，请对P取模输出。

Input

第一行包含两个正整数n,P，表示点数和模数。

2≤P≤1e9,N<=2000

Output

输出n行，第i行输出从1出发的最长简单路径经过点数恰好为i的竞赛图个数模P。

Sample Input

2 233

Sample Output

1
1

题解

$dp[i][j]$表示 $i$个点，从 $1$出发的最长路径为 $j$的竞赛图方案数，就有转移如下：
$dp[i][1]=2^{\frac{(i-1)\times(i-2)}{2}}\\ dp[i][j]=\sum_{j=2}^{i-1}dp[j][j]\times \binom{i-1}{j-1}\times 2^{\frac{(i-j)\times(i-j-1)}{2}}\\ dp[i][i]=2^{\frac{i\times(i-1)}{2}}-\sum_{j=1}^{i-1}dp[i][j]$
稍微解释一下第二个转移方程，考虑从 $j$个点，从 $1$出发的最长路为 $j$的图上扩展：先从 $i$个点里选出 $j$个构成 $dp[j][j]$的店，因为一定有 $1$号点，所以方案数为 $\binom{i-1}{j-1}$，然后剩下的 $i-j$个点向第 $1$个点连边， $i-j$个点乱连一波，构造完成。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=2005;
int n,p;
long long C[M][M],dp[M][M],pao[M*M];
void in(){scanf("%d%d",&n,&p);}
void ac()
{
	pao[0]=1;for(int i=1;i<=n*n;++i)pao[i]=(pao[i-1]<<1)%p;
	for(int i=0;i<=n;++i)C[i][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=i;++j)C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%p;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		dp[i][1]=pao[(i-1)*(i-2)/2],dp[i][i]=pao[i*(i-1)/2];
		for(int j=2;j<i;++j)dp[i][j]=dp[j][j]*C[i-1][j-1]%p*pao[(i-j)*(i-j-1)/2]%p;
		for(int j=1;j<i;++j)(dp[i][i]-=dp[i][j])%=p;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)printf("%lld\n",(dp[n][i]+p)%p);
}
int main(){in();ac();}