[POJ1741] Tree [点分治]

题意：给出一颗有 $N$个点的树。给定一个 $K$，求 $Card(\;\{(u,v)|dist(u,v)\le K\}\;)。$
$(N\le10^4,dist(u,v)\le10^3)$

点分治裸题

考虑以一颗 $root$为根的树，要统计其中长度 $\le K$路径数量的和 $Sum$。

如果直接打算全部算出来显然不怎么现实，我们先只考虑经过 $root$的那些路径。

记 $dis(x)=dist(root,x)$。有 $dist(u,v)=dis(u)+dis(v)-2*dis(lca_{u,v})$
设集合 $X=\{(u,v)|father(lca(u,v))=root,dist(lca(u,v),u)+dist(lca(u,v),v)+2*dis(lca(u,v))\le K\}$
$Sum=Card(\{(u,v)|dis(u)+dis(v)\le K\})-Card(X)$

如何求 $Card(\{(u,v)|dis(u)+dis(v)\le K\})$？
算出所有的 $dis(x)$，排序。
对于每个 $i$求 $max(j)$满足 $dis(i)+dis(j)\le K$那么 $i$的贡献就是 $j-i$
显然，如果 $i$增大， $j$一定不会增大，所以可以 $\Theta(N)$统计贡献
也可以尺取法。

现在考虑不经过 $root$的那些路径。

去掉了 $root$之后，每个以它的儿子为根的子树可以分别单独提出来考虑（分治）
如果直接沿着儿子走下去会爆炸（链的情况很显然），所以就需要考虑有没有更好的方法
复杂度显然跟每一步的子树大小有关，于是把这个作为标准考虑每步让子树大小至少 $/2$吧
也就是说要尽量平均地分配子树，更直观地讲就是让最大子树最小
所以理想的分治方案就是找重心提根来 $divide$。

总的复杂度为 $\Theta(Nlog_2N)$

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cctype>
using namespace std;
int N,K,tot=0,root,mn;
int head[10005]={},nxt[20005]={},to[20005]={},val[20005]={};
bool vis[20005]={};
int siz[10005]={},mxsiz[10005]={},curtotal=0,ans=0;
int dis[10005]={};
#define add_edge(a,b,c) nxt[++tot]=head[a],head[a]=tot,to[tot]=b,val[tot]=c;
void getdis(int x,int fa,int d)
{
	dis[++dis[0]]=d;
	for(int v,i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		v=to[i]; if(vis[v]||v==fa)continue;
		getdis(v,x,d+val[i]);
	}
}
int solve(int x,int add)
{
	dis[0]=0;
	getdis(x,0,add);
	sort(dis+1,dis+1+dis[0]);
	int ret=0,iter=dis[0];
	for(int i=1;i<=dis[0];++i)
	{
		while(dis[iter]+dis[i]>K)--iter;
		if(iter<=i)break;
		ret+=iter-i;
	}
	return ret;
}
void getroot(int x,int fa)
{
	siz[x]=1; mxsiz[x]=0;
	for(int v,i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		v=to[i]; if(vis[v]||v==fa)continue;
		getroot(v,x); siz[x]+=siz[v];
		mxsiz[x]=max(mxsiz[x],siz[v]);
	}
	mxsiz[x]=max(mxsiz[x],curtotal-siz[x]);
	if(mxsiz[x]<mn)mn=mxsiz[x],root=x;
}
void divide(int x)
{
	ans+=solve(x,0);
	vis[x]=1;
	for(int v,i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		v=to[i]; if(vis[v])continue;
		ans-=solve(v,val[i]);
		curtotal=siz[v]; mn=2147483647; getroot(v,0);
		divide(root);
	}
}
int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&N,&K))
	{
		if((!N)&&(!K))return 0;
		
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		ans=0,tot=0,mn=2147483647,curtotal=N;
		for(int i=1;i<=N;++i)head[i]=0;
		
		for(int u,v,w,i=1;i<N;++i)
		{
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			add_edge(u,v,w);
			add_edge(v,u,w);
		}
		
		getroot(N>>1,0); 
		divide(root);
		
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}