“没有免费的午餐定理”就是由 Wolpert and Macready 在 1997 年在优化领域中提出的 No Free Lunch Theorems(NFL),可以简单理解为:针对某一具体域内的所有优化问题 Q,经过 m 步迭代之后达到目标函数给定值的所有可能性的累加和是相等。用在机器学习中就是刚刚说的“针对某一域的所有问题,所有算法的期望性能是相同的”, 在该域的有些问题上算法 La 比 Lb 好,其余问题上则有 Lb 比 La 好。
现在来理解一下书中的证明过程(Page 8),这个没什么 tricky,希望有耐心些很好理解。需说明书中这里讨论的是二分类问题,假设数据空间 X 和假设空间 H 都是离散的,样本空间记作 X;且真实目标函数对所有可能的 f均匀分布。
首先需要明确这里算法性能是通过衡量训练集外误差得到的,即 off-training error(ote),本题所说的“训练集外”就是 X−X。“误差”也就是机器学习所说的损失函数(Loss function),Page 8 已经要求了损失函数为 L(h,f(x))=1(h,f(x))。算法 La 在所有训练集外的误差其实就是机器学习中说的风险函数,即
Risk(X,La)=∫L(h,f(x))dF(x)
上式应用于由本题,则损失函数
L
换成
1
;由于本题是离散空间,积分变作对“训练集外”即
X−X
求和,故写作下面
(1) 式,调整一下写法变成
(2) 式。
符号说明: 1)∑fEote(La)|X,f) 表示在该域所有问题上算法 La 在训练集外即 X−X 上的所有误差; 2)P(h|X,La) 表示用算法 La 基于训练集 X 产生假设 h 的概率。
比如考虑问题:从一个几km的大坡顶 A 地到坡底 B 什么交通工具划算(即算法)?我们会觉得自行车比汽车火车飞机都靠谱。但你非要说飞机可以从中国飞到美国,所以飞机这种交通工具也很好,你凭什么说自行车好?这就是在脱离实际问题了。这是因为我们在针对“从 A 到 B”这一具体问题讨论交通工具(算法)的选择。