没有免费的午餐定理(No Free Lunch Theorem),这个定理说明
若学习算法LaLa 在某些问题上比学习算法LbLb 要好，
那么必然存在另一些问题，
在这些问题中LbLb 比LaLa 表现更好。
这里说的表现好就是前面所说的泛化能力更强。然后出现了下面这个公式
Eote(La|X,f)=∑h∑x∈χ−XP(x)I(h(x)≠f(x))P(h|X,La)Eote(La|X,f)=∑h∑x∈χ−XP(x)I(h(x)≠f(x))P(h|X,La)
令人生畏的长公式，不过我们来依次解读它。
留坑，周末更
好了，周六了，今天终于看懂了这个定理的证明，下面我们一字一句地来解读书中的证明:
首先，定义好符号
χχ:样本空间，什么是样本空间呢?就是你的样本的属性张成的空间，书的前文有介绍
还是以他书中的西瓜来举例吧:
西瓜的属性和每个属性的取值是
色泽= 青绿||乌黑||浅白 x= 0 || 1 || 2
根蒂= 蜷缩||稍蜷||硬挺 y= 0 || 1 || 2
敲声= 浊响||沉闷||清脆 z= 0 || 1 || 2
你把色泽、根蒂、敲声想想成x，y，z轴。取值的范围都是0,1,2。怎么样，是不是像一个正方体的三维空间，当然属性可能有多种，那就上升到多维空间去了，不好想像了。
HH:假设空间，什么是假设空间呢?
什么是假设呢，前面说也叫学得模型，这里我们不搞那些概念。请看这篇博主的文章http://blog.csdn.net/VictoriaW/article/details/77686168，看完应该就能理解假设空间和版本空间。
LaLa:学习算法，学习算法有其偏好性，对于相同的训练数据，不同的学习算法可以产生不同的假设，学得不同的模型，因此才会有那个学习算法对于具体问题更好的问题，这里这个没有免费的午餐定理要证明的就是:若对于某些问题算法LaLa学得的模型更好，那么必然存在另一些问题，这里算法LbLb学得的模型更好.这里的好坏在下文中使用算法对于所有样本的总误差表示
P(h|X,La)P(h|X,La): 算法LaLa基于训练数据XX产生假设hh的概率
这里我说一下自己的理解，既然是LaLa基于XX产生假设hh的概率，那么就说明假设不止一个(你说这不是废话吗？上面都说有假设空间了，假设当然不止一个)，这里要注意的是这里的假设是一个映射，是y=h(x)y=h(x)，是基于数据XX产生的对于学习目标(判断好瓜)的预测。因数据XX不一样，所以可能产生不一样的假设hh,既然假设假设有可能不一样，那么对每一种假设都有其对应的概率即P(h|X,La)P(h|X,La).而且所有假设hh加起来的概率为1，这个不难理解，概率总和为1
ff:代表希望学得的真实目标函数，要注意这个函数也不是唯一的，而是存在一个函数空间，在这个空间中按某个概率分布，下文证明中采用的是均匀分布。
好，上面那个公式到了
Eote(La|X,f)=∑h∑x∈χ−XP(x)I(h(x)≠f(x))P(h|X,La)Eote(La|X,f)=∑h∑x∈χ−XP(x)I(h(x)≠f(x))P(h|X,La)
首先看这个EE,这个EE是期望，expectation的意思，这个下标oteote,是off-training error，即训练集外误差(忘了是在哪篇博客上看到的了，错了我不负责哈嘻嘻)。
Eote(La|X,f)Eote(La|X,f): 算法LaLa学得的假设在训练集外的所有样本上的误差的期望
P(x)P(x): 对于这个，我的理解是样本空间中的每个样本的取得概率不同，什么意思呢？拿西瓜来说，(色泽=浅白，根蒂=硬挺，敲声=清脆)的西瓜可能比(色泽=浅白，根蒂=稍蜷，敲声=沉闷)的西瓜更多，取到的概率更大。所以有P(x)P(x)这个概率。
I(h(x)≠f(x))I(h(x)≠f(x)):看前面的符号表把这个叫做指示函数，这个很好理解，就像if语句括号里的表达式一样，为真就=1,为假就=0。
P(h|X,La)P(h|X,La): 前面说过了，再复习一下，算法LaLa基于训练集XX产生假设hh的概率。
其实这里最开始最令我困惑的是什么呢？是两个求和符号，因为这里求和符号感觉不规范啊！有木有，不过后来觉得理解了意思就大概行了.
第一个求和符号:
∑h∑h: 这里的这个对假设的求和其实我也不是很理解，我的理解主要是不知道这个对假设求和的空间到底是：同一个算法对于不同训练集产生不同的假设，每个假设有不同的概率，还是算法对于同一个训练集会产生不同的假设，每个假设有不同的概率。不过这个不重要，群里有人说前三章看看就好，具体结合后面的算法来理解就行了，先往后面看着吧
第二个求和符号:
∑x∈χ−X∑x∈χ−X：对于样本空间中每一个训练集外的数据都进行右边的运算。
好了，公式的每一部分都说清楚了，来整体理解一下，这个公式就是说:
对于算法LaLa产生的每一个不同的假设hh,进行训练外样本的测试，然后测试不成功(因为求的是误差)指示函数就为1，并且两个概率相乘,最后所有的结果加起来，就是该算法在训练集外产生的误差。
然后下面考虑二分类问题，先要说明，对于我们想要求得的真实目标函数ff可能也不止一个，这个好理解，因为满足版本空间中的假设的函数都可以是真实目标函数，然后这些不同的ff有着相同的概率(均匀分布),函数空间为{0,1}{0,1},那么有多少个这种函数呢?我们来看对于同一个样本的这个预测值，对于样本空间χχ中的某个样本xx，如果f1(x)=0f1(x)=0，f2(x)=1f2(x)=1, 那么这就是两个不同的真实目标函数，所以对于某个样本可以区分出两个真实目标函数，一共有|χ||χ|个样本，所以一共有2|χ|2|χ|个真实目标函数，这些真实目标函数是等可能分布的(均匀分布),所以对于某个假设h(x)h(x)如果h(x)=0h(x)=0那么就有1212的可能与真实目标函数相等。
所以下面来看这个公式推导
∑fEote(La|X,f)∑fEote(La|X,f)
=∑f∑h∑x∈χ−XP(x)I(h(x)≠f(x))P(h|X,La)=∑f∑h∑x∈χ−XP(x)I(h(x)≠f(x))P(h|X,La)
=∑x∈χ−XP(x)∑hP(h|X,La)∑fI(h(x)≠f(x))=∑x∈χ−XP(x)∑hP(h|X,La)∑fI(h(x)≠f(x)) ①
=∑x∈χ−XP(x)∑hP(h|X,La)122|χ|=∑x∈χ−XP(x)∑hP(h|X,La)122|χ| ②
=122|χ|∑x∈χ−XP(x)∑hP(h|X,La)=122|χ|∑x∈χ−XP(x)∑hP(h|X,La) ③
=2|χ|−1∑x∈χ−XP(x)⋅1=2|χ|−1∑x∈χ−XP(x)⋅1 ④
第一步是怎么推导出来的呢？这里涉及到一个求和运算
假设
ai∈{a1,a2,...,am}ai∈{a1,a2,...,am}
bj∈{b1,b2,...,bn}bj∈{b1,b2,...,bn}
ak∈{c1,c2,...,co}ak∈{c1,c2,...,co}
那么
∑mi∑nj∑okaibjck∑im∑jn∑koaibjck
=∑miai∑njbj∑okck=∑imai∑jnbj∑kock
这个很容易理解，你想
(a1+a2+...+am)(b1+b2+...+bn)(c1+c2+...+co)(a1+a2+...+am)(b1+b2+...+bn)(c1+c2+...+co)
是不是等于
a1b1c1+a2b1c1+...amb1c1+...+ambncoa1b1c1+a2b1c1+...amb1c1+...+ambnco
看懂了上面那个你再看第一步也就看懂了
第二步
主要是
∑fI(h(x)≠f(x))=122|χ|∑fI(h(x)≠f(x))=122|χ|
这个其实也很好理解，因为一共有2|χ|2|χ|个ff，且均匀分布，所以f(x)=1f(x)=1和f(x)=0f(x)=0的ff个数相等，对于每一个h(x)h(x)来说,不管h(x)=0h(x)=0还是11,都有一半f(x)f(x)与之相等，即122|χ|122|χ|
所以就得出第二步
第三步到第四步就更好理解了
概率求和为1,就是这么简单
经过这么一通推导后，发现得出期望的表达式中关于没有具体算法的，所以是算法无关的!
如果错误，望指出共交流，共学习！