线段树专题-黑白棋盘

题目来源

$BZOJ-1453$

题意

$Q$ 次操作
每次操作给出 $(x,y)$ ,将 $(x,y)$ 个格子颜色取反
每次操作后,输出棋盘上黑白联通块的个数
$n \le 100,Q \le 10^4$

题解

显然不能直接套并查集,因为直接套并查集的时间复杂度为 $O(n^2Q) = 10^8$

考虑使用线段树维护并查集.

线段树维护的是 $[l,r]$ 行中黑白联通块的数量,其中重点维护 $l,r$ 两行的并查集.

遇到合并操作的时候,如把 $[l_1,r_1]$ 与 $[l_2,r_2]$ 做合并.

首先将各自的黑白联通块数量合并到 $[l_1,r_2]$ 中去,然后再从中减去并查集合并时候造成的联通块减小的部分数.

首先构建一颗大小为 $4n$ 的并查集,把 $l_1$ 并查集放于第一层, $r1$ 并查集放于第二层,把 $l_2$ 并查集放于第三层, $r2$ 并查集放于第四层.注意此时第一层和第二层有关系,第三层和第四层有关系.然后枚举 $i : [1,n]$ ,打通第二层和第三层之间的关系,并更新黑白联通块的个数.

因为中间的二三层在做完以上操作的时候已经没有用了,因此我们要把它们删掉,并且将规模 $4n$ 的并查集缩小至 $2n$ .

我们需要玩一个小 $tric$ ,即把第一层的并查集的根节点全都换成第一层里的数,把第四层并查集里的根节点全都换成第二层里的数.这样的话并查集又可以缩小为 $2n$ 了.

小tric的代码

rep(i,1,n) {
    tmp[findset(pa,pa[i])] = i;
    tmp[findset(pa,pa[i+3*n])] = i+n;
}
rep(i,1,n) {
    ns[rt].pa[i] = tmp[findset(pa,pa[i])];
    ns[rt].pa[i+n] = tmp[findset(pa,pa[i+3*n])];
}

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
 
#define rep(x,a,b) for(int x = a;x <= b;++x) 
#define pr(x) std::cout << #x << ":" << x << std::endl
const int N = 201;
int n,m;
int bit[N][N];
void initset(int pa[],int n) {rep(i,1,n) pa[i] = i;}
int findset(int pa[],int x) {return x == pa[x]?x:pa[x] = findset(pa,pa[x]);}
int join(int pa[],int x,int y) {
    int px = findset(pa,x),py = findset(pa,y);
    if(px != py) {pa[px] = py;return true;}
    return false;
}
struct Node{
    int pa[2*N];
    int color[2];
    void init(int line) {
        color[0] = color[1] = 0;
        initset(pa,n);
        rep(i,1,n-1) 
            if(bit[line][i] == bit[line][i+1])
                join(pa,i+1,i);
        rep(i,1,n) 
            pa[i+n] = pa[i];
        rep(i,1,n)
            if(findset(pa,i) == i) 
                color[bit[line][i]] ++;
    }
}ns[N<<2];
int pa[N<<2],tmp[N<<2];
void maintain(int rt,int l,int r){
    int mid = (l + r) / 2;
    int lc = rt << 1,rc = rt << 1 | 1;
    rep(i,1,2*n) {
        pa[i] = ns[lc].pa[i];
        pa[i+2*n] = ns[rc].pa[i] + 2*n;
    }
    ns[rt].color[0] = ns[lc].color[0] + ns[rc].color[0];
    ns[rt].color[1] = ns[lc].color[1] + ns[rc].color[1];
    rep(i,1,n) {
        if(bit[mid][i] == bit[mid+1][i]) {
            if(join(pa,i+2*n,i+n)){
                ns[rt].color[bit[mid][i]] --;
            }
        }
    }
    rep(i,1,n) {
        tmp[findset(pa,pa[i])] = i;
        tmp[findset(pa,pa[i+3*n])] = i+n;
    }
    rep(i,1,n) {
        ns[rt].pa[i] = tmp[findset(pa,pa[i])];
        ns[rt].pa[i+n] = tmp[findset(pa,pa[i+3*n])];
    }
}
void build(int rt,int l,int r) {
    if(l == r) {
        ns[rt].init(l);
        return ;
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    build(rt<<1,l,mid);
    build(rt<<1|1,mid+1,r);
    maintain(rt,l,r);
}
void change(int rt,int l,int r,int pos) {
    if(l == r) ns[rt].init(l);
    else {
        int mid = (l + r) / 2;
        if(pos <= mid) change(rt<<1,l,mid,pos);
        else change(rt<<1|1,mid+1,r,pos);
        maintain(rt,l,r);
    }
}
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin >> n;
    rep(i,1,n) rep(j,1,n) {
        std::cin >> bit[i][j];
    }
    build(1,1,n);
    //std::cout << ns[1].color[0] << " " << ns[1].color[1] << std::endl;
    std::cin >> m;
    while(m--) {
        int x,y;
        std::cin >> x >> y;
        bit[x][y] ^= 1;
        change(1,1,n,x);
        std::cout << ns[1].color[1] << " " << ns[1].color[0] << std::endl;
    }
}

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