最大子序列问题

问题

给定n个整数(可能是负数)的序列{a1,a2,…a3},求其子序列的相加的最大值,负数就为0

e.g. -1 , 3 , -2 , 4 , -6 , 1 , 6 , -1
        最大值:7

解决

1. 直接法

   把所有子序列列出来相加,然后判断最大值

   int findMax(int a[],int l){
   	int max = 0;//最大值 
   	int s = 0;	//序列和 
   	for(int i=0;i<l;i++){
   		for(int j=i;j<l;j++){
   			for(int z=i;z<j;z++){
   				s+=a[z];
   			} 
   			if(s>max){
   				max=s;
   			}	
   			s=0;
   		} 
   	}
   	return max;
   }
   

   时间复杂度 O(n^3)

2. 直接法(改进)

   全部子序列列出来,相加,在子序列相加的时候进行的小部分优化
   上一个方法缺点:
       第一轮: i=0 , j=1 , s=-1
       第二轮: i=0 , j=2 , s=-1+3
       第三轮: i=0 , j=3 , s=-1+3±2
       第四轮: i=0 , j=4 , s=-1+3±2+4
        …
       即那有些重复相加的部分可以省略

   int findMax(int a[],int l){
   	int max = 0;//最大值 
   	int s ;	//序列和 
   	for(int i=0;i<l;i++){
   		s = 0;
   		for(int j=i;j<l;j++){
   			s+=a[j];   
   			if(s>max){
   				max=s;
   			}		
   		} 
   		s=0;
   	}
   	return max;
   

}
```
时间复杂度O(n^2)

3. 分治法

   前面的时间复杂度太高，对于大数据的处理事件会很长

   分治法:也就是把大问题转化成若干个小问题，再把小问题各个击破，再结合小问题解决得到大问题的解决

   把这个序列分成3部分 , 左边序列(leftMax)，中间序列(midMax)，右边序列(rightMax)，再判断这3种序列中的最大值

   图解:

   1. 黄色区域
          leftMax = -1 rightMax = 3 midMax=-1+3=2
          这里可以看出黄色区域最大序列为3
      绿色区域
          leftMax = -2 rightMax = 4 midMax=-2+4=2
          这里可以看绿色区域最大序列为4
      

       leftMax = 3 rightMax = 2 midMax=3±2+4=5
       这里可以看出区域最大序列为5
   

同理

中间序列取值是从分开位置开始(见图3)
    取左边最大4+-2+3=5
    取右边最大-6+1+6=1
则中间序列取值为5+1=6

```c
int findMax(int a[],int l,int r){

 	int mid = (l+r)/2;
 	//当序列分到只有一个值,或者这个序列只有一个值 
 	if(l==r){
 		return a[l]>0?a[l]:0;
    }
 	
 	int leftMax = findMax(a,l,mid);
 	int rightMax = findMax(a,mid+1,r);
 	
 	int leftxMax=0,rightxMax=0,ls=0,rs=0; 
 	
 	for(int i=mid;i>=l;i--){
	 	leftxMax+=a[i];
	 	if(leftxMax>ls){
	 		ls=leftxMax;
	 	}
 	} 
 	
 	for(int i=mid+1;i<r;i++){
		rightxMax+=a[i]; 
		if(rightxMax>rs){
			rs=rightxMax;
		}	
 	}
 	int midMax= ls+rs;
 	
 	int max1 = leftMax>midMax?leftMax:midMax;
 	int max = rightMax>max1?rightMax:max1;
 	
	return max;

}
```
时间复杂度:Tn=T(n/2)+T(n/2)+cN 即:左边完成+右边完成+中间完成
                      =2T(n/2)+cN
                      =2T(2T(n/4)+cN/4)+cN
                      …
                      =2^ kT(n/2^ k+cN/2^k)+cN
                      T(n/2^k) 趋向与1, k=lgN
                      =O(NlgN)

4. 动态规划(贪心)
   比上一个时间复杂度更低

最大子序列和中的每个子序列和都大于0

**证明**:

     前提a1+a2+a3+a4位最大子序列和
    假设有a1+a2<0,则a1+a2+a3+a4不为为最大子序列和,最大子序列应该为a3+a4

```c
int findMax(int a[],int l){
	int max=0;//最大值 
	int s = 0;	//序列和
	for(int i=0;i<l;i++){
		s+=a[i];
		if(s>0&&s>max){
			max=s;
		}
		if(s<0){
			s=0;
		}
	}
	return max;
}
```
时间复杂度:O(n)