【数据结构】二进制分组解决一类强制在线问题

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这种技巧来源于论文：许昊然《浅谈数据结构题的几个非经典解法》

你需要对什么东西支持若干个修改和询问操作，强制在线，如果去掉强制在线，那么是可以对时间分治来解决的。

换句话说，这类题目满足能够对于每个修改单独计算对每个询问的答案（修改之间是独立的）
我们将修改操作每2的幂次分一组，每一组用数据结构维护

当出现询问时，就暴力跳每一组，在组中的数据结构查询。
出现新的修改时，就类似2048（逃）一样的向左合并组。

假设当前我们有13个修改操作，组的大小是8 4 1
新加入一个修改，变成8 4 1 1
合并就变成 8 4 2
以此类推。

合并组的时候就暴力重构这个数据结构

分析这样的时间复杂度
论文中如是说

考虑我们加入第k个操作所需要重构的组的大小
可以发现其实就是 $lowbit(k)$
假设我们维护每一组的数据结构的复杂度为 $O(f(size))$
组数一定是不超过 $\log k$组的，那么总的询问时间复杂度就是 $O(q\log n*f(n))$
总的修改时间复杂度就是 $\sum\limits_{i=1}^{n}O(f(lowbit(k)))$
$=\sum\limits_{i=1}^{\log n}O\left(\left\lceil{n\over 2^{i+1}}\right\rceil *f(2^i)\right)$
$\leq\sum\limits_{i=1}^{\log n}O(f(i))=O(f(n)\log n)$