线段树-Mex-洛谷P4137

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Mex

问题提出

有一个长度为 $n$的数组 $\{a_1,a_2,…,a_n\}$。 $m$次询问，每次询问一个区间内最小没有出现过的自然数。

题目解答

对 $1-n$这里能够的每个数 $x$,都统计出来在数组中出现的位置,并在前补上 $0$,在后补上 $n+1$.

例如数组 $\{1,2,3,2,1\}$,
其中 $1$出现过的位置就是: $\{0,1,5,6\}$
其中 $2$出现过的位置就是: $\{0,2,4,6\}$
其中 $3$出现过的位置就是: $\{0,3,6\}$
其中 $4$出现过的位置就是: $\{0,6\}$
其中 $5$出现过的位置就是: $\{0,6\}$

如果一个自然数 $x$没有在一个区间 $[l,r]$中出现过,那么必然存在 $x$的出现序列中的两个位置 $p_1,p_2$满足 $p_1<l<r<p_2$.

那么这就变成一个经典的 $2$维数点问题啦!

我们把每个 $x$的出现位置序列,相邻两个数并成一个二维数点,插入到线段树中去.

对于每个询问 $(l,r)$在线段树中找满足 $p_1<l<r<p_2$条件的权值最小的点就可以了.

将所有的询问 $(l,r)$和数点 $p_1,p_2$按照第二维排序,从左往右枚举,遇到询问就回答,遇到数点就插入.

排序可以省掉一维.

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <map>
#define pr(x) std::cout << #x << ':' << x << std::endl
#define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)
#define repi(i,a,b) for(int i = a;i >= b;--i)
#define clr(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define setinf(x) memset(x,0x3f,sizeof(x))

const int N = 200010;
const int inf = 1e9+7;
int n,m;
int a[N];
std::map<int,int> map;

struct node{
    int num;
    node(int x = inf){num = x;}
}ns[N<<2];

struct que{
    int l,r,id;
    que(int l = 0,int r = 0,int id = 0) {this->l = l,this->r = r,this->id = id;}
    bool operator<(const que &q)const{
        return l < q.l;
    }
}qs[N],qs2[N<<2];

int ans[N];

node maintain(node &lch,node &rch) {
    node res = node();
    res.num = std::min(lch.num,rch.num);
    return res;
}	

void change(int o,int l,int r,int pos,int val) {
    if(l == r) {
        if(val < ns[o].num) 
            ns[o].num = val;
        return ;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(pos <= mid) 
        change(o<<1,l,mid,pos,val);
    else 
        change(o<<1|1,mid+1,r,pos,val);
    
    ns[o] = maintain(ns[o<<1],ns[o<<1|1]);
}

node query(int o,int l,int r,int ql,int qr) {
    if(ql <= l && r <= qr) 
        return ns[o];
    if(r < ql || qr < l)
        return node();	
    int mid = (l + r) >> 1;
    node lch = query(o<<1,l,mid,ql,qr);
    node rch = query(o<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
    return maintain(lch,rch);
}

void build(int o,int l,int r) {
    if(l == r) {
        ns[o] = node();
        return ;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(o<<1,l,mid);
    build(o<<1|1,mid+1,r);
    ns[o] = maintain(ns[o<<1],ns[o<<1|1]);
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin >> n >> m;
    build(1,0,n+1);
    rep(i,1,n) std::cin >> a[i];
    int cc = 0;
    rep(i,1,n){
        qs2[cc++] = que(map[a[i]],i,a[i]);
        map[a[i]] = i;
    }
    rep(i,0,2*n) {
        qs2[cc++] = que(map[i],n+1,i);
    }
    std::sort(qs2,qs2+cc);
    rep(i,1,m) {
        std::cin >> qs[i].l >> qs[i].r;
        qs[i].id = i;
    }	
    std::sort(qs+1,qs+1+m);
    int pos = 0;
    rep(i,1,m) {
        while(pos < cc && qs2[pos].l < qs[i].l){
            change(1,0,n+1,qs2[pos].r,qs2[pos].id);
            ++pos;
        }
        node res = query(1,0,n+1,qs[i].r+1,n+1);
        ans[qs[i].id] = res.num;
    }
    rep(i,1,m) {
        std::cout << ans[i] << std::endl;
    }
    
}