排列组合初步

版权声明：原创文章，转载要注明作者哦 https://blog.csdn.net/DYT_B/article/details/81217070

数学基础：公式大全:

$m*C_{n}^{m}=n*C_{n-1}^{m-1}$
拆开来看一看啊
$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}...+C_{n}^{n}=2^{n}$
这个应该比较显然，对于每一个数，选或者不选。
$1C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}...+nC_{n}^{n}=n2^{n-1}$
结合第一个式子，把每一项的系数变成n，然后提出来，用第二个式子即可
$1^{2}C_{n}^{1}+2^{2}C_{n}^{2}+3^{2}C_{n}^{3}...+n^{2}C_{n}^{n}=n(n+1)2^{n-2}$
把前面几个式子合并变形一下就好了。
$\frac{C_{n}^{1}}{1}-\frac{C_{n}^{2}}{2}+\frac{C_{n}^{3}}{3}...+(-1)^{n-1}\frac{C_{n}^{n}}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$
23333

建模：小球和盒子

我们知道排列组合的经典模型就是小球和盒子的问题，
那么我们就可以罗列一下：
假设：N个球，M个盒子

球相同，盒相同，可以为空：
好像只能递推： $f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]$

球相同，盒相同，不能为空:
可以利用一下上一种情况的结果： $f[i][j]-f[i][j-1]$就可以了

球不同，盒不同，可以为空:
直接： $n^m$

球不同，盒相同，不能为空：
相当于第二类斯特林数,DP解决: $f[i][j]=j*f[i-1][j]+f[i-1][j-1]$

球不同，盒不同，不能为空：
比上一种情况多了一个盒不同的条件，我们先假装盒相同，然后再把上一种的答案 $*m！$就好了。

球不同，盒相同，可以为空：
暴力枚举有几个盒子有球，直接DP解决。

球相同，盒不同，不能为空：
隔板法解决: $C_{n-1}^{m-1}$

球相同，盒不同，可以为空：
$C_{n+m-1}^{n-1}$

一些其他的姿势：

错位排列： $f[n]=(i-1)*(f[n-1]+f[n-2])$

圆排列：固定一个点先，其他的点随便排，方案就是： $(n-1)!$

重复排列（每个点出现ai次）： $\frac{n!}{a1!+a2!+...+an!}$

斯特林数：戳这里

卡特兰数：
$Cat_n=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}$