CodeForces 51 F.Caterpillar（边双连通分量+树的直径）

Description

定义毛虫图为一个无向无环（但可以有自环）无重边（但自环可以重边）图，在不考虑直径时即为一棵树，该棵树的非直径点到直径的距离只能为$1$。现在给出一个$n$个点$m$条边的无向图，每步操作可以把两个不同的点$a,b$合并成一个点$c$，且所有的边$a\leftrightarrow d$和$b\leftrightarrow d$均变成$c\leftrightarrow d$，可以看出一步操作会使得图的点数减一边数不变，问使得该图变成一个毛虫图的最小操作数

Input

第一行两个整数$n,m$表示点数和边数，之后$m$行每行输入两个整数$u,v$表示一条无向边

$(1\le n\le 2000,0\le m\le 10^5)$

Output

输出使得该图变成毛虫图的最小操作数

Sample Input

4 4
1 2
2 3
3 4
4 2

Sample Output

2

Solution

首先一个边双连通分量必然要缩成一个点，缩点后得到一个森林，只需单独考虑每棵树，之后按直径把每棵树连起来即可，对于一棵树，现在要使得所有非直径点到直径距离为$1$，假设树的点数为$x$，直径上点数为$y$，叶子点为$z$，那么我们只需要把非直径点且非叶子节点的点缩掉即可，这部分点为$x-y-z+2$，因为直径上还有两个叶子节点，注意到如果$x=1$时直径上只有一个叶子节点

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
#define maxn 2005
#define maxm 200005 
struct Edge
{
    int to,next;
    bool flag;//标记是否是桥
}edge[maxm];
int head[maxn],tot;
int low[maxn],dfn[maxn],stack[maxn],belong[maxn];//belong数组的值是1~block
int index,top;
int block;//边双连通块数
bool instack[maxn];
int bridge;//桥的数目
void addedge(int u,int v)
{
    edge[tot].to=v,edge[tot].next=head[u],edge[tot].flag=0;
    head[u]=tot++;
}
void Tarjan(int u,int pre)
{   
    int v;
    low[u]=dfn[u]=++index;
    stack[top++]=u;
    instack[u]=1;
    for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next)
    {
        v=edge[i].to;
        if(v==pre)continue;
        if(!dfn[v])
        {
            Tarjan(v,u);
            if(low[u]>low[v])low[u]=low[v];
            if(low[v]>dfn[u])
            {
                bridge++;
                edge[i].flag=1;
                edge[i^1].flag=1;
            }
        }
        else if(instack[v]&&low[u]>dfn[v])
            low[u]=dfn[v];
    }
    if(low[u]==dfn[u])
    {
        block++;
        do
        {
            v=stack[--top];
            instack[v]=0;
            belong[v]=block;
        }
        while(v!=u);
     }
}
void init()
{
    tot=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
int n,m,e[maxm][2],vis[maxn],mx,tar,res;
void dfs(int u,int fa,int dep)
{
    vis[u]=1;
    if(dep>mx)mx=dep,tar=u;
    int num=0;
    for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next)
    {
        num++;
        int v=edge[i].to;
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,u,dep+1);
    }
    if(num<=1)res++;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    init();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&e[i][0],&e[i][1]);
        addedge(e[i][0],e[i][1]),addedge(e[i][1],e[i][0]);
    }
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    memset(instack,0,sizeof(instack));
    index=top=block=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])Tarjan(i,0);
    init();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=belong[e[i][0]],v=belong[e[i][1]];
        if(u!=v)addedge(u,v),addedge(v,u);
    }
    int ans=n;
    n=block;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!vis[i])
        {
            ans++;
            mx=0,tar=i,res=0;
            dfs(i,i,1);
            mx=0,res=0;
            dfs(tar,tar,1);
            if(mx>1)ans=ans-res+2-mx;
            else ans=ans-res+1-mx;//single point
        }
    ans--;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}